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IV. Se la serie (1) è sommabile (B , r) ed ha per somma u , la 



serie 



Un + Un+l + U n+i -) 



è sommabile (B , r — n) ed ha per somma u — (« e H h Un-ì) ; e viceversa. 



Corollario 1°. (Proprietà commutativa). — Cambiando l'ordine di 

 un numero finito di termini di una serie sommabile (B , /') , essa non si 

 altera,, cioè si ha una serie che è pure sommabile (B,r) e con ugual 

 somma. 



Corollario 2°. — Inserendo in una serie sommabile (B , r) un 

 numero finito n di termini, si ha una serie sommabile (B , r — n) , la cui 

 somma è uguale a quella della prima aumentata della somma dei termini 

 inseriti; sopprimendo da una serie sommabile (B , r) un numero finito n 

 di termini, si ha una serie sommabile (B , r -j- n) , la cui somna è uguale 

 a quella della prima diminuita della somma dei termini soppressi. 



Corollario 3° (Proprietà associativa). — Se in una serie somma- 

 bile (B , r) si sostituisce a un numero finito n di termini la loro somma, 

 si ha una serie sommabile (B , r — n-\-\) avente ugual somma. 



Corollario 4° (Proprietà dissociativa). — Se in una serie somma- 

 bile (B , r) si sostituisce un termine con n altri (n finito) dei quali esso sia 

 la somma, si ha una serie sommabile (B , r -\- n — 1) avente ugual somma. 



V. Se le due serie 



Ho + Ui 4- u 2 -\ , Vo + Vi + Vt -j 



sono sommabili (B , r) e (B , s) ed hanno per somma u e v rispettivamente, 

 la serie di Cauchy 



w a -\-w x -\-iCì-\ , 



ove 



w„ = u v n -f- ih y„_i -j -f a„ » - 



è sommabile (B , t) ed ha per somma te = uv , ove t vale r -j- s — 1 se 

 r ed s non sono positivi, ed è uguale al non maggiore dei numeri r 

 ed s in ogni altro caso. 



Tutti questi teoremi ci assicurano che, applicando a serie sommabili Bg 

 le operazioni lecite sulle serie assolutamente convergenti, si hanno ancora 

 serie sommabili Bg ('). 



4. Il metodo Bg è, in certo senso, il metodo limite dei (B , r) per 

 r — — oo . 



È naturale considerare anche il metodo limite dei (B, r) per r = -(- oo , 



(') È solo vietato di applicare la proprietà commutativa al di là di qualunque 



posto. 



