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Q^_i contenente un S„_, è un cono proiettante da un S„_ 4 una superficie 

 di 2° ordinò, e quindi contenente due sistemi di S„_ 2 ). 



Risulta dall'anzidetta proprietà fondamentale, anzitutto (con ragiona- 

 mento induttivo da » a n-\-\) che i punti uniti, intersezioni delle qua- 

 driche (2) fuori di /?, sono in generale n -\- 1; in secondo luogo che, se vi 

 sono varietà continue di punti uniti, queste sono lineari. 



Ora, se la nostra omografia possiede un S h di punti uniti, le varietà V h , 

 intersezioni di n — h — 1 fra le nostre QJUi, conterranno S h come parte; 

 le residue Y' h s'incontreranno generalmente in n — h punti fuori dello S h . 

 In ogni caso codeste V^, soddisferanno ancora alla proprietà fondamentale 

 delle V ft , e, in conseguenza di ciò. avranno a comune sempre varietà lineari; 

 questa conclusione si estende al caso in cui le dette V abbiano comune 

 una varietà entro lo S ft : si definirà così un S ft] di punti uniti doppi ecc. 



Questo rapido cenno è sufficiente a fare comprendere la definizione ge- 

 nerale degli spazi di punti uniti multipli, di cui si riconosce tosto l'accordo 

 colla definizione di Predella. 



Ma vorrei rilevare la precisione che si ottiene nel concetto degli spasi 

 di punti uniti infinitamente vicini. Qui tale locazione s' introduce nel senso 

 proprio che le spetta secondo la teoria generale delle singolarità : infatti 

 l'esistenza di spazi di punti uniti dell'omografia corrisponde a quella di 

 spazi di contatto o d'osculazione per le quadriche (2) e quindi per le 

 varietà, V, intersezioni di esse, che sono generate da spazi lineari. 



Emerge in pari tempo come nella teoria delle omografie si presenti 

 soltanto il caso di spazi (di punti uniti) infinitamente vicini, che risponde 

 ai punti infinitamente vicini su rami lineari, di guisachè ci si riduce 

 infine a caratterizzare le omografie di un S r , aventi r -f- 1 punti infinita- 

 mente vicini sopra un ramo lineare; le quali posseggono, come invarianti, 

 delle curve razionali normali di S r ('). 



Può apparire a prima vista strano che non si possano avere omografie 

 con punti uniti infinitamente vicini, all' infuori dei casi in cui questi punti 

 si lasciano definire mediante rami lineari. Ma la ragione di ciò apparisce 

 chiara già dall'esame delle omografie piane: se si fanno avvicinare due 

 punti uniti B e C ad un punto unito A, in direzioni diverse, l'omografia 

 si riduce ad un'omologia speciale di centro A, il cui asse passa per A; 

 altrettanto avviene se si fanno avvicinare ad A i due punti uniti B e C , 

 movendosi sopra un ramo di second'ordine. 



( x ) Già parecchi anni or sono, il sig. Fano ed io avemmo occasione di scambiarci 

 verbalmente questa proposizione, che avevamo indipendentemente osservata, e che può 

 servire di fondamento e d'illustrazione alla riduzione dell'omografia a forma canonica. 

 Una verifica analitica diretta della proposizione anzidetta, fu data dalla sig. ra Maria So- 

 stegni nella sua tesi di laurea presentata all'Università di Bologna nel 1914 (e non 

 pubblicata). 



