e la (VI C ) porge una relazione algebrica fra S e T, cioè 



(VI' C ) g 2 (2U — k 2 ) — S 2 + 2AS(A — T) — 2U {h — T) 2 = , 



la quale permette di esprimere S in funzione di T, e viceversa. Ma la (VI&) 

 dà ora un'equazione che non è indipendente dalle altre, perchè può dedursi 

 dalla (Vr c ). Infatti, tenendo conto della (VII), la (VI&) dà, per U' = 0, 



(VI' 6 ) (2g 2 U - S 2 ) T' == [S(h — T) — £g 2 ] S' 



e ponendo in questa equazione, al posto di g 2 , l'espressione 



g* = [S 2 — 2kS(h — T) + 2U (h — T) 2 ] / (2U — k 2 ) 



ottenuta dalla (VT C ), si ricava, dopo qualche semplice riduzione, 



(3) [AS — 2U (li — T)] T' = [k (h — T) — S] S' . 



Ora è facile vedere che questa equazione può anche ottenersi diretta- 

 mente dalla (Vr c ). Derivando, infatti, la (VT C ) rispetto al tempo, si ha 



— 2SS' + -2k(h — T) S' — 2kST + 4U„(A — T) T' = 



da cui, mettendo in evidenza T' ed S'. si ottiene precisamente la (3). 



Resta così dimostrato che la (YV b ) è una conseguenza della (VI' C ) e 

 si può quindi concludere che « per U = costante, poiché una delle equazioni 

 « del sistema di Schiff diviene conseguenza delle altre, è necessario per la 

 « equivalenza fra i sistemi di Schiff e di Euler-Poisson trovare una nuova 

 * equazione, indipendente dalle altre, che possa sostituire la (VI 6 ) ». 



Per tale scopo si osserva che, secondo quanto è stato dimostrato nella 

 precitata Nota, quando il solo invarianti! U è costante sussiste certamente 

 l'equivalenza fra le equazioni di Schiff e quelle di Euler, occorrendo per ciò 

 che solo l'invariante S sia funzione del tempo, ma resta dubbio se dalle (VI) 

 possa dedursi come conseguenza anche la (II) che equivale al noto sistema 

 di Poisson. 



Ora è facile vedere che, se alle due equazioni 



(4) gXk[ = , a£Xk; = 0, 



dedotte dalle equazioni (VI) di Schiff (v. 1. e), si associa la condizione 



(5) Sì X li; = , 



si ha un sistema che ammette come conseguenza necessaria la (II). Infatti 

 dalle (4) e (5), le quali esprimono che le proiezioni del vettore k{ , su Sì , 

 ^, a Sì sono tutte nulle, si ha l'equazione 



SÌXg A aSì. k[ = 



e da questa, poiché è per ipotesi S' = fiXg Aafi^O, segue necessaria- 

 mente kj = c. d. d. 



