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Dopo ciò si può dire che « quando l'invariante U è costante, cioè in- 

 « dipendente dal tempo, le equazioni di Euler sono conseguenza delle equa- 

 * zioni di Schiff', ma perchè sussistano anche quelle di Poisson è neces- 

 « sario e basta associare al sistema di Schiff l'equazione supplementare (5) 

 « al posto della (VI 6 ) che in questo caso diviene conseguenza della (VI C ) » . 



Per ottenere l'espressione della (5) in funzione degli invarianti S , T , U 

 si può procedere nel seguente modo : si deriva la (V) rispetto al tempo e. 

 tenendo conto della (VII) e osservando che è g' = 12Ag, si ha 



(2Uo g 2 — S 2 ) k{ = 2SS'k, - T (2U g — S . a Sì) + 



+ (h — T) [2U .£Ag — S'.«12 — S.k x Ag]-|- 

 + *[g».ki Ag — S'g — S.-fi Ag] 



dove, poiché per Scostante sussiste la (I), si è posto (a!2)' = k 1 Ag. 



Moltiplicando ora questa relazione scalarmente per 12 e tenendo conto 

 delle (IH), si ricava con qualche riduzione 



(2U g 2 — S*y}i[XSÌ = 

 = S' } [2U {h — T) — AS] . [g X Sì . S — 2g 2 T] — [S (h — T) — &g 2 ] 2 { 



e da qui, nell'ipotesi che sia diverso da zero il coefficiente 2U g 2 — S 2 = 

 = (g A ccSìf e poiché è S' 4= 0, si ha la cercata espressione della (5), cioè 



(5') [2U (h — T) — ASj [g X Sì . S — 2g 2 T] — [S(A — T) — Ag 2 ] 2 = 



e questa può anche scriversi, tenendo conto delle (III) e delle (Vili), sotto 

 la forma 



(5") («12 A g) X (aSÌ A k x ) . (g A aSÌ) X (Sì A g) — 



- [(g A «13) X (k, A g)] 2 = 



dalla quale risulta chiaro che nel caso escluso, g A «12 = 0, la (5') si an- 

 nulla identicamente. 



Per vedere ora come l'equazione supplementare (5) non possa essere in 

 generale conseguenza della (VI' C ), basta dimostrare che non lo è in qualche 

 caso particolare. 



Consideriamo, ad esempio, il caso di un giroscopio assiale in cui il vet- 

 tore g = G — del baricentro sia parallelo ad uno degli assi principali 

 d'inerzia relativi al punto fisso 0. Indicando con i,j ,k tre vettori unitari 

 paralleli ai detti assi, con A , B , C i corrispondenti momenti d' inerzia e 

 supponendo 



(6) g = G — = i 

 si ha 



(7) S = gX«!2 = A. !2Xi = A. 12Xg 



