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Matematica. — Classe derivata di una furinone. Nota di 

 Gustavo Sannia, presentata dal Socio Enrico D'Ovidio ('). 



In una Nota recante lo stesso titolo ( 2 ), C. Barali- Porti ha proposto 

 di considerare per ogni funzione f(x) , non soltanto i due numeri derivati, 

 ma tutta una classe di numeri, che chiama classe derivala, in ogni punto a 

 che appartenga al gruppo G ove la funzione è definita e ne sia punto limite. 



È costituita da tutti i valori limiti (e precisamente dai Lm di G. Peano) 

 della funzione 



(i) 9{x) = fMi-M 



x — a 



nel punto a ( 3 ), ossia è la classe limite (di Peano) di questa funzione. 

 Come tale, è ( 4 ) chiusa ed ha per estremi (massimo e minimo) i limiti di 

 indeterminazione di g>(x) in a, i quali, come è noto, sono i numeri deri- 

 vati di f{x) in a. 



L' Autore incita allo studio del nuovo ente, stimandolo molto utile ed 

 interessante. E su ciò non v'ha dubbio. 



Qui' voglio osservare che già preesisteva qualche estensione del con- 

 cetto di derivata, sebbene sporadica e diversamente concepita; quindi è na- 

 turale domandarsi che relazione vi. sia tra essa e la classe del Burali-Forti. 



A. Khintchine ( 5 ) ha considerato il caso in cui esiste in G un sotto- 

 gruppo S, misurabile e di densità 1 nel punto a. tale che il rapporto in- 

 crementale (1) di f(x), considerata soltanto nei punti di S. ammetta il 

 limite (ordinario) nel punto a; questo limite ha chiamato derivata asinto- 

 tica di f{x) in a ( 6 ). 



Generalizzando, si può dire una derivata di f(x) in a ogni numero 

 (+ oo e — oo inclusi) che sia derivata (ordinaria) di f(x) in a allorché 

 f(x) vien considerata soltanto in un conveniente sottogruppo S di G conte- 



(*) Pervenuta all'Accademia il 20 giugno 1919. 



( 2 ) Questi Rendiconti, voi, XXVIII, serie 5 a , 1° sen>., fase. 1°. 



( 3 ) Un numero l è un Lm di <f>{$) in a se, dato un numero s ~> 0, in ogni intorno 

 di a esiste un numero (almeno) x di G tale che risulti ] <f>{x) — /|<e. Analoga defini- 

 zione per -4- oo (o — oo) è un Lm . 



( 4 ) Per un teorema di R. Bettazzi che ha chiamato confini i Lm (Rend. del Circolo 

 Mat. di Palermo, t. VI, 1892, pag. 173). 



( 5 ) C. R, t, 162, 1918, pag-. 287. 



( 6 ) Ed ha dimostrato che una funzione è la derivata asintotica del suo integrale 

 indefinito di Denjoy. 



Rendiconti. 1919, Voi. XXVIII, 2° Sem 4 



