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3. Il putito P descriva una curva e sia Q ua punto rigidamente con- 

 nesso al triedro fondamentale di P. Se u è un vettore unitario rigidamente 

 connesso al detto triedro, r una costante, sarà 



(6) Q = P + ru. 



Indicando con l'indice 1 gli elementi relativi alla curva Q, si ha de- 

 rivando la (6) rapporto ad s ('): 



ri* 



(7) t x ^p- = t + ri A u 

 se si pone 



f = l/ e b — 1/rt. 



Dalla (7) si ricava 



ds\ = [1 -f r* (f A u) 2 ] ds\ 



Perchè la curva Q abbia archi proporzionali ai corrispondenti archi 

 di P occorre e basta che sia costante 



(f A u) 2 = f-(uX f f = 1/e 2 -f 1/t 2 — u X b — 1 li u X t] 2 . 



Il numero (f A u) 2 rappresenta ( 2 ) il quadrato della curvatura di C 

 secondo la retta w = Pu rigidamente connessa al triedro fondamentale di C. 

 La curvatura secondo una retta siffatta non coincidente con gli spigoli del 

 triedro fondamentale è nulla solamente se la curva è un'elica cilindrica e 

 la retta u la generatrice del cilindro passante per P. Dunque la curva 

 storta Q può avere arco uguale a quello della curva C solo se C è un'elica 

 cilindrica e Q trovasi sopra la generatrice del cilindro, nel qual caso la 

 curva Q è la curva P che ha subita una traslazione. Prescindendo da questo 

 caso, il rapporto fi fra l'arco Si e l'arco s è maggiore di 1. 



Nella mia Nota citata ho dimostrato che per le curve G che soddisfano' 

 all'equazione intrinseca 



(8) a 2 /Q 2 + b 2 /* 2 + 2h/iQ = c 2 

 ove le costanti a, b , h soddisfano alla limitazione 



(9) a 2 b 2 < h 2 , 



esiste una retta u relativamente alla quale la curvatura è costante; il vet- 

 tore u unitario posto su u è definito da 



(u X b) 2 = 1 — ka 2 , (u X t) 2 = 1 — k 2 b 2 , (uX t) (u X b) = teh 

 k = 2 \a 2 -\-b 2 + \/{a 2 — b 2 )-\-Ah % j" 1 



f 1 ) Cfr. P. Sibirani, Sulla curvatura delle linee gobbe. Giornale di Battaglini, 

 voi. LII (1914). 



( 2 ) F. Sibirani, loc. cit. 



