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superficie algebriche, potessero ritrovarsi e maggiormente precisarsi spin- 

 gendo più in là le conseguenze del procedimento trascendente con cui egli 

 era pervenuto a stabilire l'esistenza del fascio irrazionale sulle superficie in 

 questione. 



L'autorevole previsione è stata confermata dalla ricerca, di cui nella 

 presente Nota espongo la linea direttiva, la parte sostanziale dei principali 

 ragionamenti, e le conclusioni, rimandando la parte di dettaglio e gli ac- 

 cessori non essenziali ad altra pubblicazione. 



2. La considerazione d'una superfìcie algebrica F con p g ^2(p a -\-2) 

 conduce con Castelnuovo a studiare il comportamento di q = p g — p a = 

 = n -f- 1 funzioni di due variabili 



Ui{xy) , Ui(xy) , ... , u n + t {xy) , 



(integrali picardiani di l a specie di F), indipendenti nel senso che nessuna 



loro combinazione lineare a coefficienti costanti può esser costante, fra i 



/»4-l\ . ,. . „ D(uìu h ) . In — l\ , , 



cui y g j jacobiani Xf ft = pZ^~) intercedono m =i y ^ — | — 1 x*e- 



lazioni lineari omogenee indipendenti, del tipo 



(1) I^x« = o, 



(i , k = 1 , 2 n -f- 1 ; i 4= k ! v = 1 i 2 , ... , m) , 



a coefficienti costanti. 



La condizione affinchè una combinazione lineare delle (1), cioè una re- 

 lazione del tipo 



(2) Z Qa X ih = . 



esprima l'annullarsi dello jacobiano di una combinazione lineare delle u, e 

 quindi l'esistenza di due integrali di l a specie di F funzioni uno dell'altro, 

 è che i numeri Q ik sian del tipo a ( fa — a h fa , cioè possano interpretarsi in 



uno 



spazio S d j^(i = ^ j — l~j come coordinate di un punto giacente 



sulla grassmanniaaa Wj,».,, delle rette di S„. Ora il punto è arbitrario 

 entro lo spazio T di dimensione m — 1 individuato in Sa dagli m punti 

 indipendenti a$ , e perciò l'esistenza di coppie d'integrali funzionalmente 

 dipendenti è legata a quella di punti comuni a T e alla W 2(w _i) , punti che 

 esistono certamente, attesa la dimensione di T. 



Di qui la conclusione di Castelnuovo; ma di più, la circostanza che lo 

 spazio T e la Wj^, non hanno in comune un sol punto, ma un numero 



