finito > 1 (se n 2) di punti (distinti o no) (') o addirittura una varietà 

 di dimensione > , induce a prevedere che quella conclusione possa, per 

 la stessa via, precisarsi ulteriormente. 



3. Per procedere nella nostra indagine, conviene ora introdurre un'altra 

 espressiva interpretazione geometrica. Dette yi , y % , ... , y n +i coordinate non 

 omogenee di punto in un S„ +1 , pongasi 



e si consideri il luogo descritto, al variare di x , y. dal punto yi . Se quel 

 luogo è una curva, le ut risultan tutte funzionalmente dipendenti (cioè fun- 



ciascun jacobiano X lS è identicamente nullo. Lasciato da parte questo caso, 

 di cui terremo conto nelle conclusioni, il luogo considerato sarà una super- 

 fìcie <D appartenente allo S n+1 , e le X, ft potranno interpretarsi come coor- 

 dinate grassmanniane delle rette improprie dei suoi piani tangenti. Si vede 

 poi facilmente che tale interpretazione geometrica è indipendente, sia da un 

 cambiamento delle variabili x , y , come da una sostituzione lineare eseguita 

 sulle u . 



Le predette rette improprie formano un sistema K (congruenza o even- 

 tualmente rigata) appartenente allo S„ improprio di S n+1 . e contenuto 

 negli m complessi lineari indipendenti rappresentati dalle equazioni (1). 



L'annullarsi dello jacobiano d'una combinazione lineare delle u , cioè 

 l'esistenza entro al sistema di relazioni (1) d'una relazione del tipo (2), dà 

 luogo ad un complesso speciale del sistema lineare (1), contenente K. Uu 

 complesso siffatto è costituito da tutte le rette appoggiate ad un S n _ 2 (sin- 

 golare) ; pertanto lo stesso accadrà delle rette di K , e quindi quello S„_i 

 sarà vertice di un cono (di co 1 S n _i) contenente (P. Più in generale, se h 

 combinazioni lineari indipendenti y, , v % , ... , v h delle u son funzioni di una 

 fra esse, K ammette un S„_ ft direttore vertice di un cono contenente <f>; 

 e viceversa. 



Collegando l'interpretazione geometrica ora esposta, colle considerazioni 

 del numero precedente, risulta che gli S„_ 2 direttori di K sono in corrispon- 

 denza biunivoca coi punti comuni allo spazio T e alla Wj^-d, e quindi 

 che le rette di K soddisfano a molteplici condizioni d'incidenza. Dall'ana- 

 lisi di esse ci proponiamo di dedurre che le rette di K passano tutte per 

 un punto o sono appoggiate ad una retta e ad un S w _ 2 sghembo con essa. 

 Supporremo n > 3 riserbandoci di includere per via anche i casi n= 1 ,2,3. 



(') Se T ha la dimensione m — ^ ì e ^ e ™ posizione generica rispetto 



|2tj 2) ! 



a Wi(„_i) il numero dei punti comuni è —. rrr (Schubert). 



(3) 



yi = Uì (xy) , 



(i — 1,2, ■..'.,» + !); 



zioni di una fra esse) e le relazioni (1) sono 



