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'ò. Anzitutto non è difficile provare che fra le intersezioni di T con W 

 si posson sempre trovare due punti infinitamente vicini. E invero, nell'ipo- 



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tesi contraria, T e W avrebbero in comune —-. — '- ~~> n punti distinti, 



nl(n — 1) ! 



e quindi esisterebbero altrettante relazioni funzionali fra coppie di combi- 

 nazioni lineari delle u, cioè altrettanti S„_ 2 distinti direttori di K. Sì prova 

 allora, senza difficoltà sostanziali, che, se tutte le u non son funzioni di una 

 fra esse (il che si è già escluso, ma d'altronde è inconciliabile coli' ipotesi 

 che la varietà intersezione di T o W abbia dimensione zero), quelli S„_ s 

 debbono passare tutti per un S n -h (h^> 2) direttore di K. Ma allora posson 

 sempre considerarsi due S„_ 2 , direttori di K, e infinitamente vicini, bastando 

 per ciò che essi passino per lo S n _,,; e pertanto risulta assurda l'ipotesi che 

 i punti comuni a T e W siano tutti distinti. 



Dimostriamo ora che K ammette uno spazio direttore di dimensione 

 <rc — 3. Invero, detti 2 e 2* due S„_ 2 infinitamente vicini direttori di K, 

 potranno darsi i due casi seguenti : 



a) 2 e 2* si tagliano in un S„_ 3 , e quindi giacciono in un S„_! . 

 Allora le rette di K, dovendo appoggiarsi a 2 e 2' e non potendo giacere 

 nello S„_i (perchè K appartiene allo S„), si appoggeranno tutte allo S„_ 3 

 intersezione che sarà quindi direttore per K. 



b) 2 e 2' si tagliano in un S„_ 4 ; allora mediante una elementare 

 considerazione di limite si vede che resta stabilita una proiettività fra gli 

 S„_i per 2 e gli S n _ 3 giacenti in 2 e passanti per lo S n _ 4 ; e le rette ap- 

 poggiate a 2,2' son quelle che giacciono negli S„_! suddetti e si appog- 

 giano ai corrispondenti S„_ 3 . 



Per le nostre funzioni la cosa s' interpreta nel modo seguente : Esistono 

 quattro combinazioni lineari indipendenti y, , v 2 , v 3 , v 4 delle u, tali che 



(4) Vi = /■(«)) , v 4 = f'(vi) v 3 + SP('*>i)i 



f e 9 essendo simboli di convenienti funzioni. 



Adunque sulla superficie algebrica P esisterà un fascio irrazionale di 

 curve di livello costante per gl'integrali v x ,v%. Detta C una curva del 

 fascio, su cui sia v\=c, e posto f'(c) = k, g>(c) = h, avremo su C 



Vi — kv 3 = h , 



cioè lungo C sarà costante anche l' integrale v 4 — kv 3 . Applicando un teo- 

 rema di de Franchia, se ne deduce che tutte le curve del fascio son di li- 

 vello costante per l'integrale predetto (*), cioè che si ha v 4 — kvz = \f}{V)). 

 Ma allora i tre integrali y, , v 2 , v 4 — ko 3 son funzioni di uno fra essi, e 

 quindi K ammette un S„_ 3 direttore, c. d. d. 



(') De Franchis, Alcune osservazioni sulle superficie irregolari ^Rendiconti del 

 Circolo Matematico di Palermo, T. XXXVI (1913), pp. 223-225, n. 3]. 



