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Matematica. — Sui sistemi coniugati permanenti nelle de- 

 formazioni di una superficie. Nota di Alessandro Terracini, 

 presentata dal Socio C. Segre ('). 



È noto che sopra qualunque deformata di una quadrica il sistema co- 

 niugato permanente è isotermo coniugato ( 2 ). Esistono altre superficie che 

 godano della medesima proprietà? Rispondere a tale domanda, che mi fu 

 posta dal prof. Bianchi, tale è lo scopo di questa breve Nota. La risposta 

 è negativa ( 3 ). 



Sia S una superficie (non sviluppabile) cui spetti la proprietà indicata, 

 riferita alle sue asintotiche, reali o immaginarie, u , v ; e si consideri col 

 Darboux ( 4 ) una famiglia (S) di oo l superficie S, tutte applicabili su S , 

 rappresentate in coordinate cartesiane ortogonali X , Y , Z da un'equazione 



(1J /-(X,Y,Z,0 = O 



t essendo un parametro tale che la (1), per £ = 0. rappresenti S . Indi- 

 cando con x,y,& le coordinate di un punto di S (le quali risulteranno 

 funzioni di u , v), le coordinate X , Y , Z del punto ad esso corrispondente 

 su una superficie (1) si potranno riguardare, pel tramite di x,y,g, come 

 funzioni di u , v , e ulteriormente di /. Si suppone inoltre di scegliere la 

 famiglia (S) in modo che nell'intorno di ^ = [in questo solo intorno si 

 considererà la famiglia (S)] X , Y , Z siano della forma 



X = x(u , o) -f- tx(u , v) -f- t*f(u ,v,t), 

 Y = y (u , v) -j- ty (u , v) -f- l*g(u ,v,t), 

 Z = g (u , v) -j- ti (u , v) -f- t 2 h(u ,v,t), 



dove le funzioni considerate sono finite e continue colle loro derivate che 

 occorreranno. Allora il punto di coordinate x -f- tx , y -\- tf ., s -j- ti descrive 

 una superficie che risulta da S per una deformazione infinitesima; e dispo- 

 nendo opportunamente del sistema (S) , quel punto può descrivere ogni su- 

 perficie derivante in tal modo da S . 



( 1 ) Pervenuta all'Accademia il 27 luglio 1919. 



( 2 ) Cfr. p. es. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, voi. Ili, § 85. 



( 3 ) Sistemi isotermi coniugati si presentano anche in un'altra proprietà caratteristica 

 delle quadriche, relativa alle deformazioni infinitesime: cfr. Bianchi, Sui sistemi coniu- 

 gati permanenti nella deformazxone delle quadriche, Rend Lincei (5), t. XXII (1913>, , 

 pp. 3-10; e la mia Nota, Sulle congruenze W di cui una falda /'orale è una quadrica, 

 in « Scritti matematici offerti ad Enrico D'Ovidio », Torino, Bocca, 1919, pp. 149-157. 



(*) Cfr. Darboux, Lecons sur la théorie générale des surfaces ... IV Partie, Paris 

 1896, n. 852. 



