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mentre R m( „ non compare in C , G u , G v , G HV , A , A„ [le altre derivate terze 

 e quarte di R che compaiono in queste espressioni si esprimono tutte, ec- 

 cetto R w , in funzione di R e delle sue derivate prime e seconde per mezzo 

 della (6)] . Quindi poiché, come si è osservato, la (4) deve sussistere in 

 corrispondenza a ogni soluzione R della (6), dovrà risultare nullo il coeffi- 

 ciente di U uuu in AA M „ — A ({ A V , cioè dovrà essere 



( | £R»i< £«i*R i Xu -, %t I ~f" I £Rk ? i«R ) %x> i <%wt, | ~{~ | £R» ?dR ? fl5« » %uu | ) X 



X ( | £r> » S'M > I ~j~ | £ i *£>M ) <2?r | — f" | ? ) "^ì« i I ) 13 | £ > » 3?u | Aj) . 



Anche questa relazione fra la R e le sue derivate R 1( , R t - , R«, u , R t -c 

 [la R u „ si elimina mediante la (6)] deve sussistere se R è una qualsiasi 

 soluzione della (6) e perciò identicamente: in essa R t „ non compare nel 

 primo membro, e, nel secondo, compare solo nel termine 



| f 1 ! I " | »R|!U — — fffR ) ! | • 



Perciò dovrà essere 



j £ > 3J« , 32^ | • | £ , c2?m , Xuu | . 



Ora, poiché è ,y ,s sono soluzioni di un'equazione 

 X nu = n(u ,v) K + %(u ,v)K, 



tale relazione porge 



5f(« , v) 1 1 , # M , % v |* =0 ; 



e perciò, non essendo identicamente nullo il fattore di % , sarà % = , e le 

 asintotiche y = cosi della S saranno rettilinee. Siccome ciò vale anche per 

 le asintotiche u = cost., si conclude che S è una quadrica. 



