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e quindi, pel teorema citato di de Franchisi, che l'integrale del 1° membro 

 il quale è indipendente da u t , u 2 , ... , u t , è costante lungo le curve del 

 fascio, cioè è funzione di u ì . 



Ma allora, aggregando alle t funzioni u x , u t , ... , u t la (t -f- 1)* ora 

 trovata, si deduce che le rette di K sono appoggiate ad un S n -t_i conte- 

 nuto nello S n _( da cui siamo partiti ; e poiché il ragionamento può segui- 

 tarsi finché t <^ n — 1 , così si conclude che tutte le rette di K sono ap- 

 poggiate ad una retta o passano per un punto. E si vede facilmente, ba- 

 stando perciò fermarsi all'esistenza di un S„_ 2 singolare, che a tal conclu- 

 sione conducono anche i casi n = 2 , 3 ; se poi n = l, il risultato è evidente. 



Proviamo ora che se le rette di K si appoggiano ad una retta e non 

 passano per un punto, esse si appoggiano di conseguenza ad un S n _ 2 sghembo 

 con essa. E invero se t = n — 1 le relazioni (6) si riducono ad una sola, 

 la quale è del tipo 



(9) X ln («i + a 2 fljih) H + ftn-l fn-i + 



+ Xxn+i^, + Ò, f' t ( U l) H T- K-l f'n-i («i)) + cX nH + l = 0. 



Se ora si pone 



Vi = a x Ut -j- a t u z -j 1- a„-i u„^ . y 2 = b x u { -f- b % w 2 -j j- b n „ x m„_i , 



e si conservano per gli jacobiani delle v le stesse notazioni che per quelli 

 delle u , la (9) assume la forma 



'2)ì-)-l 



e, presa insieme alla X 12 — 0, ci riporta al caso n = o per le quattro fun- 

 zioni V 1 , 0-2 , v„ . v„ +1 . 



Ora, se n = 3, lo spazio T è una retta, e la W 2( ^_ij una quadrica 

 di S 5 ; e dei due punti comuni, uno corrisponde alla relazione X 12 = 0. 

 Se T è tangente a W, si ha c — ; e allora il ragionamento fatto sopra è 

 valido anche per t = n — 1, conducendo alla conclusione che le rette di K 

 passauo tutte per un punto; se T non è tangente a W, l'altra sua interse- 

 zione dà un'ulteriore relazione funzionale fra due combinazioni lineari di 

 Vi -, u t , v n , Vn+i che si potrà supporre ridotta alla forma v n + l =f(v n ), e 

 dimostra la verità dell'asserto. 



Si conclude dunque in definitiva che le superficie algebriche d'irrego- 

 larità q=p g — fa > , per cui p g >. 2 {p a -\- 2) possiedono un fascio ir- 

 razionale di genere p — q — « (e = 0,1, 2) e un altro fascio di ge- 

 nere q — p . 



