— 126 — 



5. Vediamo ora di precisare maggiormente il risultato ottenuto. Perciò 

 osserviamo che, se p a <C.O, la diseguaglianza p g s^2(p a -j- 2) è verificata 

 dalle rigate di genere ]> 1 (p a <C — l,p = q) e dalle superficie ellittiche 

 con p g ^>l (Pa = — 1 i P = q — 1); e soltanto in questi casi. 



Supposto dunque p a .> ed escluso il caso delle superficie con un 

 fascio di curve ellittiche [_p a) = 1 , p — q (Enriques )] , avremo p g >. 4 , e 

 sulla F esisterà il sistema canonico irriducibile di dimensione -> 3. Appli- 

 cando la formula di Zeuthen alla y\^- 2 segata sopra una curva canonica 

 dalle curve, di genere n , del fascio di genere p , avremo p U) >. 2(p — 1). 

 {ti — 1) — |— 1, e, per la nota formula di Castelnuovo-Enriques 



I > ±{p — l){n— 1) — 4. 

 In virtù della relazione di Nòther p (u -\-l= l2p a -\-9, se ne ricava 



=* (p — 1)— 2 1, 



e infine, tenendo conto che 



Pg^ 2(p a + 2) , p = q—e, 



viene 



( ?: _l)^Zll + 2- e <0, 



cioè ti < 2 ; ovvero, se 7t = 3op=l,« — 2. Ma questi ultimi casi si 

 escludono rapidamente in vari modi ('); e poiché le ipotesi n = , 1 con- 

 ducono ai casi già considerati, potremo soltanto supporre ti — 2. Allora un 

 ragionamento esposto da Rosenblatt al n. 7 della sua citata Nota di Palermo 

 permette rapidamente di concludere che dev'essere £ — 2, e quindi si cade 

 sulla superficie delle coppie di punti di due curve di generi p a -j- 2 , 2 ( 2 ). 



In definitiva le conclusioni a cui siam pervenuti possono riassumersi 

 negli enunciati seguenti : 



I. Il genere geometrico d'una superficie algebrica di genere aritme- 

 tico p a ^0, non contenente fasci di curve ellittiche (p lv > 1), non pud 



(') Per esempio si osservi che, se n — S p==l,in tutte le formule precedenti 

 vale il segno = e quindi p a =p — 2 , I = 4(p — 1) (n — 1) — 4. Ne segue che le curve 

 del fascio di genere p non hanno punti doppi: e quindi, se p~> 1, hanno tutte il genere 3. 

 Su esse le curve dell'altro fascio, che ha il genere 2, debbono, segare una y' 3 priva di 

 punti doppi e quindi la nostra superficie è rappresentabile doppiamente senza curva di 

 diramazione sulla superficie delle coppie di punti di due curve di generi p , 2. Ma allora 

 dalle formule di Severi segue p a — 2p — 3 = p — 2, quindi p — l , p a = — 1 : il che è 

 assurdo, perchè in tal caso è e = 1. L'ipotesi p = 1 conduce analogamente a p a = — 1 

 e quindi alla stessa conclusione. 



( 2 ) Il procedimento di Kosenblatt è stato da me modificato, ma la tirannia dello 

 spazio mi vieta di entrare nei particolari di tale variante. 



