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Questo sistema è appunto quello delle equazioni alle variazioni per le 

 cause variabili, perturbanti il moto di S (assegnate funzioni del tempo, dei- 

 posto e di talune velocità), alle quali competono gli incrementi ip t delle fun- 

 zioni (pi . 



11 sistema (3), ridotto omogeneo, 



(4) ^jjj = «il ?1 +«12 f« H h a in$n • 



è quello delle equazioni alle variazioni (') relative a variazioni di para- 

 metri del moto che non compaiono esplicitamente nelle equazioni differen- 

 ziali (1). Onde il teorema: 



Noto un sistema di n intubazioni del moto, linearmente indipendenti, 

 dovute a variazioni di n parametri che non compaiono esplicitamente nelle 

 equazioni differenziali del moto, si calcolano mediante sole quadrature le per- 

 turbazioni dovute a cause perturbatrici variabili, che siano cioè assegnate fun- 

 zioni del tempo, del posto e di talune velocità. 



2. Nelle equazioni differenziali dei moti della meccanica celeste, ed in 

 generale della meccanica applicata, è raro che i parametri xf } , che fissano 

 le condizioni iniziali, compaiano esplicitamente nelle equazioni differenziali. 

 Se ci mettiamo in questa ipotesi, il sistema di derivate 



9n'^ u = i, 



costituisce appunto un sistema completo di integrali fondamentali per il si- 

 stema omogeneo (4), il cui determinante, per ^ = 0, ha gli elementi della 

 diagonale principale eguali ad uno, e gli altri nulli. Si ha dunque che: 



Se nelle equazioni differenziali del moto non compaiono esplicitamente i 

 parametri che fissano le condizioni iniziali, noto il sistema delle n perturba- 

 zioni dovute, ciascuna, alla variazione di uno solo degli indicati parametri, si 

 calcola mediante sole quadrature la perturbazione dovuta ad una qualunque 

 causa perturbatrice variabile. 



3. A proposito delle equazioni alle variazioni (4) è interessante un'os- 

 servazione che mi sembra sfuggita al Poincaré Supponiamo che nei secondi 

 membri delle (1) non compaia esplicitamente il tempo, e indichiamo con 

 Ff(a5| , x t , ... , x„) questi secondi membri. Si ha: 



Questi Secondi membri stessi Fi(x l , x% , ... , x n ) costituiscono un partico- 

 lare sistema di integrali delle equazioni alle variazioni (5). 



(') Poincaré, Les méthodes nouvelles de la Mécanique celeste (Paris, Gauthiers' 

 Villars), t. I, p. 162. 



