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dove g> u , <p ì2 , <pn sono le derivate seconde covarianti di <p rispetto alla 

 prima forma fondamentale 



2. Supponiamo ora che esista per la superficie S una funzione caratte- 

 ristica fissa per tutte le configurazioni che la S assume per flessione. In tal 

 caso la relazione (A*), lineare omogenea in J , J' , J" dovrà necessariamente 

 ridursi ad una identità, annullandosi i coefficienti di J , J' , J" ( 2 ). 



La questione proposta è così ridotta alla ricerca di quelle forme del ds* 

 per le quali esistono soluzioni comuni alle tre seguenti equazioni del se- 

 condo ordine: 



"àlooK^y 

 (fu = — — KEa> 



~ì>u 



(1) | fti .ì(?M-2£.ìM^\_KFé 



) y 2 \ ~òv ~òu 1 Du ~òv) y 



"<> log K l*p 

 g>2 t = — - — — — KGg> . 



Queste possono anche compendiarsi nella forinola 

 g> u du 2 -f- 2^12 du dv -f- cp 22 dv 2 — 



= dlog K d<p — K(Edu 2 -\- 2F du dv -f Qrdv 2 ) , 



che ne pone meglio in evidenza la natura invariantiva- 



Siccome g> nou può ridursi ad una costante [altrimenti dalle (1) si 

 avrebbe K = contro l'ipotesi], possiamo semplificare la ricerca assumendo 

 a linee coordinate u — cost. le linee g> = cost., e le loro traiettorie ortogo- 

 nali come v = cost. Così avremo 



F = , (p = (p(u) (funzione di u) ; 



e le (1), sostituendo ai simboli di Christoffel i loro valori effettivi, diven- 

 tano ordinatamente 



( x ) I valori effettivi sono 



_ <>!SL \_ W ?JP _ i 3? 

 '"""Du» * il) 3» (2) ìv 



3'y _ (12/3<y _ Q2)3g 



qP,s 3w3w U ' 3« < 2 ) 



3 2 y (22) a? )22)3jp 



^ ~ à»» | 1 i D« / 2 > 5» ' 



( a ) Cfr. Lezioni, voi. II, § 254 



