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onde la (6) e la (3) daranno 



D'altra parte il nostro r/s 2 ha la forma 



ds* = V 2 ^ 2 -f U 2 dv 2 , 

 •e la sua curvatura K è data da 



UU"+VV" 

 U 2 V 2 ' • 



sicché, paragonando colla (8*), risulta V" = e quindi 



V = av -f- è, 



con « , è costanti. 



Viceversa, se il c?s 2 ha la forma 



(9) ds* = («» + £) 2 rfw 2 + U 2 dv 2 , 



i calcoli eseguiti dimostrano che basta prendere <p in guisa da soddisfare 

 la (8), cioè 



(p=cJJ f (c costante), 



e questa <p soddisfa al sistema (1), indi all'equazione caratteristica (A) di 

 Weingarten in tutte le configurazioni di una superficie S d'elemento li- 

 neare (9). 



Ora due casi sono da distinguersi, secondo che nella (9) la costante a 

 è nulla, oppure diversa da zero. Nel primo caso si può fare b = 1 e si ha 

 il ds 2 tipico delle superficie di rotazione ; nel secondo è lecito fare a = 1 , 

 }) = e si ha l'altra forma tipica del ds 2 : 



ds 2 = v 2 du 2 + U 2 dv 2 , 



che appartiene (Darboux, loc. cit.) a tutte e sole le superficie spirali. Con- 

 cludiamo quindi: 



Esistono due sole classi di superficie applicabili con funzione caratteristica <p 

 fissa in tutte le deformazioni della superficie, e sono: 

 1° le deformate delle superficie di rotazione con 



(I) ds 2 = d>i 2 + UW; 

 2° le deformate delle superficie spirali con 



(II) ds 2 = v 2 du 2 -\- UW, 



