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si ha 



~òu l>v v ~òu U ~òv 

 Vx_ UlT ìx- „ 



^V 2 ~ V 2 ~ÒU ^ ' 



onde le (11) si scrivono 



~òx ~òx ~ò 2 x !>x _ ~ò 2 x 



~òu !>u ~òu~òv ' Dv ~ìv 2 ' 



Sotto questa forma la loro integrazione è immediata; e disponendo 

 delle costanti additive in % , y , 1 , possiamo prendere 



/io\ - ~<>y 



(12) x — x — v — , y = ii — v , s = t — v — . 

 v ' 7)« l>v 



Il punto P = (x , y , I) risulta situato nel piano tangente in P alla su- 

 perficie S ; e poiché la curvatura geodetica — delle linee v = cost. è data, 

 in grandezza e segno, da 



_L. _L_ J_ 

 ?« ~~ |/EG ~ Uy ' 



si vede che P coincide col centro di curvatura geodetica delle linee v = cost. 

 Abbiamo dunque il risultato: 



Se per una superficie S d'elemento lineare (II) 



ds 2 = v 2 du 2 + U 2 dv 2 



si considera la superficie S luogo dei centri di curvatura geodetica delle linee 

 t; = cost., questa S corrisponde per ortogonalità d'elementi alla S, e la fun- 

 zione (f caratteristica della relativa deformazione infinitesima è data da cp = U'. 



È manifesto che in questo caso, deformando comunque la superficie S 

 che trasporti eco rigidamente i segmenti tangenti PP, la superficie S luogo 

 degli estremi P corrisponde sempre per ortogonalità d'elementi alla S. 



4. La proprietà ora segnalata per le deformate delle superficie spirali 

 è tanto più notevole che essa è esclusiva per queste superficie, come viene 

 espresso dalla proposizione seguente: 



Se due superficie S , S si corrispondono per ortogonalità d'elementi, ed 

 egni punto P di S g iace nel piano tangente nel punto corrispondente P alia S, 

 questa S è applicabile sopra una superficie spirale e la S è il luogo dei centri 

 di curvatura geodetica delle traiettorie ortogonali delle linee inviluppate sulla S 

 dai segmenti T P . 



