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Per la dimostrazione prendasi a sistema coordinato sopra S un sistema 

 ortogonale {u , v) nel quale le linee u = cost. siano quelle inviluppate sulla S 



dai detti segmenti PP. Colle consuete notazioni ('), posto T = PP , po- 

 tremo scrivere 



^ = a; + TX 2 , y = y + TY 2 , ì = s + TZ, , 

 £ di qui, derivando, abbiamo 



(13) 



v ^/ ì« ]/G 



L' ipotesi che S , S si corrispondano per ortogonalità di elementi» si 

 traduce nelle tre condizioni 



SX, — = , SX 2 — = , J/ESX, — + f/GSX 2 — = 0, 

 ~òu Dv ' r lìV 1 v 1)U 



che, calcolate colle (13), diventano 



(14) |/E+^L^=0 , ^ + j/G=0 , t/G^-T^ = 0. 



Intanto, non figurando in queste formolo D , D' , D" , si vede che la 

 proprietà, supposta in una configurazione di S, si mantiene per tutte. 

 Ora la prima delle (14) dà 



dunque : P è il eentro di curvatura geodetica delle linee v = cost. Dalla terza 

 segue 



con V funzione di v ; e successivamente, dalla seconda, 



1 log ^±1 



(15) 



V 



Dunque j/G è il prodotto di una funzione di u per una funzione di v y 

 e la seconda di queste può farsi eguale a una costante; così abbiamo 



]/G = U. 



("') Cfr. particolarmente Lezioni, voi. II, pag. 91. 



