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Allora, dalla (15), 



V' = -l, 



e, integrando, possiamo prendere V — — v , indi 



T = — vfG= — Uv, 



e, in fine, dalla prima delle (14) abbiamo 



7) log J/E ' 1 

 ~òv v ' 



Così |/B = vip(u) ; e, cangiando il parametro u, possiamo fare f/E = w, 

 ritornando alla forma caratteristica (II) del ds 2 per le superficie spirali. 



La nostra proposizione è stabilita e possiamo anche enunciare i risul- 

 tati sotto la forma: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superficie S sia applica- 

 bile sopra una superficie spirale, è che esista una superficie S corrispondente 

 alla S per ortogonalità d'elementi coi punti situati nei rispettivi piani tan- 

 genti di S. 



Matematica. — Sur les ensembles effectiveme?it énumérables 

 et sur les défènitions effeclives. Nota del Socio Emile Borel ( x ). 



Divers géomètres, notamment M. Burali Porti, ont mis en évidence les 

 contradictions auxquelles conduisent certaines définitions de la théorie des 

 enseinbles. Pour échapper à ces contradictions, j'ai propose d' introduire la 

 notion d'ensemble effectivement émmérable. La lecture d'un intéressant 

 Mémoire de M. Sierpi nski ( 2 ) me conduit à revenir sur cette définition et 

 à préciser quelques points sur lesquels ma pensée n'avait pas été exprimée 

 d'une manière suffìsamment claire. 



Un eusemble dénombrable, d'après Cantor, est un ensemble tei qu'une 

 correspoudance biunivoque peut exister entre ses éléments et les entiers po- 

 sitifs. Cette définition a été longtemps admise cornine claire et l' on a 

 raisouné sur les ensembles dénombrables comme si, pour chacun d'eux, on 

 possédait effectivement une correspondance biunivoque avec les entiers po- 

 sitifs. Mais on s'est apercu que l'on airivait ainsi à des contradictions. à I 

 des paradoxes, et de nombreuses discussious ont eu lieu au sujet de ces 

 paradoxes. J'ai montré que ces paradoxes disparaissent si l'on renonce à la 



(') Pervenuta all'Accademia il 20 ottobre 1919. 



( 2 ) Uaxiome de M. Zermelo et son ròte dans la théorie des ensembles et Vanalyse, 

 par W. Sierpinski (Bulletin de l'Académie des sciences de Cracovie, avril-mai 1918). 



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