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définition precèdente et si on la remplaee par la définition de l'ensemble 

 effectioement énumérable, c'est à dire de l'eDsemble polir lequel on connaìt 

 effectivement ane correspondance biunivoque avee les entiers positifs. En 

 d'autres terrnes, un ensemble effectivement énumérable est un ensemble 



donai sous la forme 



(1) U\ , u% , . . . . , u n 



chaque élément u„ étant connu quand on donne son rang (et inversement). 

 Bien entendu, lorsqu'un ensemble effectivement énumérable estMonné, il est 

 possible, d'une infinite de manières, de modifler le numérotage; les ensem- 

 bles effectivement énumórables ainsi obtenus sont équivalents à l'ensemble 

 donné, mais ne lui sont pas identiques ; dans certains cas méme, ils ont des 

 propriétés nettement différeates ; en tous cas, il en sont logiquetnent distincts. 

 Ces notions sont très loin d'étre réellement nouvelles; tonte la théorie clas- 

 sique des séries intìnies repose implicitement sur elles. 



Lorsque l'on admet ces détìnitions, il est clair qu'une infinite effective- 

 ment énamérable d'ensembles effectiverneut énumérables peut étre mise sous 

 la forme d'un ensemble effectivement énumérable; il suffit, pour cela, 

 d'énoncer en termos finis l'un des procédés bien connus. D'une manière gé- 

 nérale, les raisonnements classiques sur les ensembles dénombrables s'appli- 

 quent sans difficulté aux ensembles effectivement énumérables, à condition 

 de prendre soin, dans chaque cas, de préciser les lois et les méthodes que 

 l'on utilise. 



Lorsque l'on veut appliquer aux ensembles dénombrables les résultats 

 démontrés pour les ensembles effectivement énumérables, il est nécessaire 

 de raisonner, pour chaque ensemble déuombrable, sur une correspondance 

 supposée réalisée, c'est à dire, en definitive, de supposer l'ensemble dénom- 

 brable donné sous la forme (1). Ceci implique l'axiome de M. Zermelo; ou, 

 tout au moins, l'axiome de M. Zermelo affirme la possibilité abstraite de 

 mettre un ensemble dénombrable sous une forme telle que (1), sans donner 

 d'ailleurs effectivement un moyen déterminé de le faire. La question prin- 

 cipale, à mon avis, est de savoir si l'on a le droit d'appliquer à une telle 

 suite (1) concue abstraitement, mais non effectivement définie, les mémes 

 raisonnements qu'à une suite (1) effectivement donnée. L'étude des paradoxes 

 de la théorie des ensembles, en particulier l'étude de l'ensemble des nombres 

 qui peuvent étre définis par un nombre fini de mots, semble prouver que 

 certains raisonnements, qui ne conduisent à aucune contradiction pour les 

 ensembles effectivement énumérables, conduisent au contraire à des contra- 

 dictions lorsqu'on les applique à des ensembles dénombrables. Il ne me pa- 

 raìt pas douteux que les ensembles ou les correspondances « définis » au 

 moyen de l'axiome de M. Zermelo n'ont pas les mémes propriétés que les 



