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in discorso può, brevemente, scriversi A («) = B(«), dove A, come si vede, 

 è im operatore lineare (nei riguardi di « e della sua derivata), mentre B è 

 un operatore non lineare. 



L'equazione considerata dal Levi-Civita come caratteristica delle solu- 

 zioni approssimate è la equazione A(e)=0. Ora, supponendo a sviluppabile 

 in serie di potenze intere e positive di un parametro cioè a =a, -j-S (p), 

 riterremo, in prima approssimazione, c<=a ì . Corrispondentemente l'equa- 

 zione A(e)=0 verrà scritta 



< 2 > ^H^+Ki)|+S!^>-(ì)l=°- 



Di questa equazione denoteremo con *, la soluzione (privata del ter- 

 mine costante) uniforme e regolare in C e reale sulla circonferenza |£| = 1 . 



-4-00 



Sicché «i (£) = Y «is £ s (con a 10 = 0). Mediante sostituzione nella (2), si 



— 00 



osservi che dovremo avere identicamente 



£ j S (af 4- «r s ) + k(cc\ — a,-) j a ìs f s = , 



— oo ' ; 



dove #=J^. Quindi, non tutti i coefficienti a u essendo nulli, è neces- 

 sario che esista un intero \m\ tale che 



(3) + 

 cioè 



k -\- m 



condizione che supponiamo soddisfatta. Si noti, incidentalmente, la conse- 

 guente restrizione k^> \m\. Ciò premesso, si osservi che non possono esistere 

 due interi \m\, fra loro diversi, tali che la (8) resulti, da entrambi, sod- 



disfatta. Infatti, dalla (3), si ha — ; 1 , — = k. Ora, se esistessero due 



1 — a\ 



valori positivi di v , in corrispondenza ai quali l'espressione 



1 — af 



(considerata come funzione di v) assumesse valori fra loro eguali, dovrebbe 

 esistere almeno un valore positivo di v annullante la prima derivata di 

 cotesta funzione; cioè dovrebbe essere, per un certo v positivo, 



«f — irai* log a, = 1 . 

 Ma, per v = , il primo membro di cotesta eguaglianza vale uno; dunque 



