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indi 



j/EG — F* = v i j/U* — 0* i// 8 — tp* . 

 Se ne eguagliamo a zero la curvatura K„ colla nota forinola (*) 



2K t/EG^Fi ^ .1 j _Jl /F jg, _ jGY j , 



■ ■ J ( 1 / 2 7)F _ DE _ F ->E\) 

 ( j/EG — F* \ ~ìv E "Su / ) ' 



dove si osservi che le tre quantità 



1 >F 1 ^E F _àE 



j/EG — F* 3u ' j/EG — F 1 ~iv ' E j/EG — F 1 ^ u 



sono indipendenti da v, mentre l'altra 



F _oE jvG 



E 2>u 



risulta eguale a — 2UU'; ne risulta, per la funzione incognita tp(u), la 

 equazione differenziale 



U- utr Uo. 



rfw y j/ fj « _ TJ* _ ysj 



coli' integrale primo 



U* — U* xff' 1 — V 2 = c* U 2 U'* (e costante). 



Non resta quindi altro che determinare xp(u) dall'equazione differenziale 

 del 1° ordine 



(16) V' 2 + ^=1 — ' 2 U' 2 , 



la cui integrazione introduce una nuova costante arbitraria (*), e ne risulta 

 che il problema proposto ammette in effetto una doppia infinità di solu- 

 zioni. Di più le oo* superficie (spirali), così definite, sono tutte differenti per 

 la forma, come constatiamo calcolando i corrispondenti valori di D , D' , D" 

 dalle formole 



D = Sn jy 5= 3 12 d" — Stt . 



yi — j^ ' — 1 i/i— j iZ ' 



C) Lezioni, voi. I, pag. 93. 



( 2 ) Per l'integrazione delle equazioni di questo tipo vedi Darboux, Legons, IV* 1 

 Partie, note VI, p. 442 ss. 



