Siccome z = vtp(u), e dalla (16) 



3=1—0* D" , 



ne deduciamo 



,i7, D „ W+») , D , = _A , D - = M, 



e da queste formole si vede che al variare della costante c, e dell'altra 

 introdotta dalla integrazione, variano D . D' , D" e cangia quindi la configu- 

 razione della superficie. 



6. Fra le superficie d'elemento lineare (II) le superficie spirali sono 

 appunto caratterizzate dalla proprietà che : Ogni superfìcie spirale S corri- 

 sponde per ortogonalità d'elementi ad un piano fisso in guisa che il piano 

 tangente in ogni punto P di S passa pel punto corrispondente P del piano. 



Partendo da questa definizione delle superficie spirali, formiamo subito 

 un'equazione a derivate parziali del 1° ordine di cui queste superficie sono 

 gli integrali, e ne deduciamo le ordinarie equazioni in termini finiti. Sia 

 z = z(x , y) l'equazione della supposta superficie S e prendiamo il piano 

 fisso per piano xy a cui facciamo corrispondere la S per ortogonalità d'ele- 

 menti. Indicando con x , y le coordinate del punto P sul piano 1 = che 

 corrisponde al punto F=(x,y,z) della S, le formole di corrispondenza, 

 disponendo dell'origine, possono scriversi 



— Il x 



x = \ , y = — - , 



h 9 h 



dove li è una costante E se esprimiamo che il piano tangente in (a?, 



/ y OC \ 



y , z) alla S passa pel detto punto P = (^, — ~]^ , ®) ' troviamo per s la 

 equazione del 1° ordine 



(hx-y)^ + {}iy + x)^ = h S C), 



che, introducendo coordinate cilindriche (r , , z) col porre 

 x = r cos 6 , y = r sen 6 , 



si scrive 



, ~Ò3 . 1)3 , 



hr — - = hz. 



i 1 ) Cfr. Lezioni, voi. II, pag. 3, nota. 



( 2 ) Questa esprime che la superficie ammette la trasformazione conforme infinitesima: 



! òy ite ' 1 1 " 7>y 1 iz f 

 Cfr. Lie-Scheffers, Geometrie der Berùhrungstransformationen. 



