— 218 — 



L'integrale gonerale è 



ge ~M __ a>{re~ M ) , 



dove <t> indica una funzione arbitraria, e questa ci dà l'equazione in termini 

 finiti delle superfìcie spirali. In forma parametrica, indicando con 6 , u i pa- 

 rametri, si scriverà 



(18) ,£ = Ue'' 9 eos0 , y = Uè" 9 sentì , * = U,« M . 



dove U , U, rappresentano funzioni arbitrarie del parametro u . Sotto questa 

 forma è evidente che le linee u = cost. sono eliche cilindro-coniche ( l ) de- 

 scritte su coni circolari retti col vertice nell'origine, aventi per asse di ro- 

 tazione l'asse Os . 



Si verifica subito, sulle (18*, che: la tangente in un punto (x,y,2) ai- 

 Velica cilindro-conica, incontra il piano xy nel punto , — ^ , 0^, centro ài 



curvatura geodetica delle traiettorie ortogonali delle eliche u = cost. 



7. Risulta dal § 4 che, per riconoscere se una data superfìcie S è ap- 

 plicabile sopra una superfìcie spirale, basta esaminare se esiste una super- 

 ficie S, corrispondente per ortogonalità di elementi alla S, i cui singoli 

 punti P giacciano nei piani tangenti alla S nei punti corrispondenti P . Se 

 la S è riferita ad un sistema ortogonale qualunque con 



ds 2 = Rdu*-{-Gdv\ 



le coordinate x , y , s di P potranno scriversi, nelle solite notazioni, 



x = x-\- AXi -f- BX, , y = y + AY, + BY, , s = s + AZ, + BZ, , 



dove A , B sono funzioni di u.v. Le condizioni di corrispondenza per orto- 

 gonalità d'elementi fra S , S si traducono per A , B nel sistema delle tre 

 equazioni simultanee 



«) { ^+-4^ + ^=0 



\ ~òv ~òu ìu 7)y 



le quali dunque ammettono soluzioni nel solo caso che la S sia applicabile 

 sopra una superficie spirale. Ora proviamo che in tal caso la soluzione è 



(*) Lesioni, voi. I, pag. 21. 



