Non esistono mai funzioni f soddisfacenti alla (A) se ad esse si im- 

 pone la condizione di avere, in tutto l'intervallo ( — oo , -(- oo ) , modulo mas- 

 simo finito. 



Sulle f non faremo nessuna ipotesi, salvo che esse non siano totalmente 

 discontinue. 



Nel caso però che esse ammettano derivate, sino all'ordine n — 1 in- 

 cluso, la dimostrazione è quasi immediata. Infatti, indicando con , g 2 , ... g n 

 tali derivate, si avrà ovviamente 



^TT ~ 9k+ + 9n =0 



-v „„_2 = «1 9l~\- "2 h «n 0n =0 



^1 = < _1 0i + «r 1 ^ h h «r 1 ?» = o 



Ora queste ultime relazioni dàuno precisamente un sistema di n equa- 

 zioni omogenee ad n incognite (le g). Siccome il determinante di tale si- 

 stema è precisamente il determinante di Vandermonde relativo alle a x ... a„, 

 e questo è diverso da zero, così avremo, come solo sistema di valori che 

 le risolva. 



9i = gì = 9a = • • •= 9n =*= . 



E siccome queste sono le derivate (n — l)-esime delle f, si deduce 

 che le f stesse (se derivabili n — 1 volte) devono essere dei polinomi di 

 grado n — 2: si vede che in tal caso esse possono effettivamente soddisfare 

 la (A). Un'altra via, in tal caso, è indicata in fondo. 



2. Nel caso che invece le f non si suppongano derivabili, bisogna pro- 

 cedere alla dimostrazione per induzione completa. Supponiamo quindi vero 

 il teorema per n, e dimostriamo che esso è vero anche per n-\-l. 



Consideriamo perciò la funzione 



(x , t) = fy (X -f- «! t) H h f n+1 (X + « n+1 t) 



e diamo ad x un aumento h, alla t un aumento k\ avremo 



4> (x + h , t + k) = ^ (x -j- a x t + h) H 1- f n +i (x + «„+, < + / n+1 ) 



ove si ponga 



l r — h -\- a r k . 



Ora poniamo l n+l = Q, cioè Ti = — a n + r k: supponendo, ciò che non 

 lede la generalità, 4= . Se a M+1 fosse nullo, vi sarebbe almeno un 

 altro « diverso da zero, e muteremo gli indici. 



