— 225 — 

 In tale ipotesi, la k diventa 



Xi = (<Xi «n-i-l) • k ', l*n-¥\ = . 



Avremo quind 



<D {ce — a n+ì k) t-\-k) = 



— A (# + «1 1 + ^l) H h A fa + «n * + ^») + A+l + "n+l Ó ; 



e se la (P fosse identicamente nulla, anche quest'ultima sarebbe tale ; dun- 

 que, in questa ipotesi, la loro differenza sarebbe ancora identicamente nulla; 

 avremo cioè 



J/,(* + «i*-Mi)-A(a; + «i 01 + 



H h \f* ( x + a " * + — A + a » 1 + 



= (A (# + «!* + *•) — A (* + «i 1 + 



+ • • . ' + 1 U (% + «n * + ^n) A + «n <) ( = 



identicamente. 



Ora noi abbiamo supposto vero il teorema per n; le differenze 

 fi (x + «f t + A,) — A (a; + a< 



sono a lor volta funzioni di ^-{-"«^ dunque tutte le prime fra le f 

 sono tali che 



è un polinomio di grado ^ — 2 al più: e quindi se esse hanno un sol punto 

 di continuità (') dovranno essere le /' polinomi di grado (n — 1) al più. 

 Ed allora, essendo 



«-»■ i f i f 2 ' ' ' fn<i 



anche la f n + x sarà un polinomio di grado n — 1, e resta dimostrato vero il 

 teorema per n + 1 , se esso vale per n . 

 Intanto, per n = 2, si ha l'equazione 



A + «i Ó + A + «2 ó = o . 



Ponendo in essa a; = — a x t, si trae, qualunqne sia t, 



A(0) + A((«i - «i)0 = °5 

 ciò che ci dice essere /" 2 (e quindi /",) costante (polinomio di grado zero). 



(*) Basta ripetere, per dimostrare ciò, quanto si fa nel caso dell'equazione 



A* +*) = /*(«>+ A*) ■ 



