Cosi, per il principio d'induzione completa, resta dimostrata la vali- 

 dità del teorema. 



3. Una conseguenza importantissima di tutto quanto precede è che: 

 Teorema II. — Se una funzione F (x , l) è rappresentabile mediante 



la somma di n funzioni fi (x -f- a { t) , essa non lo è che in un sol modo, 

 escluso tuffai più dei polinomi di grado 2n — 2 . 

 Infatti, supponiamo dapprima che sia 



m n 



F(x ,t) = Y fi(x + 9i(x + M 



i m 



e che sia anche 



m n_ 



¥{x ,t) = ^_ <pi {x -f- a t t) — y hi(x -f- yit), 



1 m 



scrivendo nei primi due sommatori i termini che hanno le stesse a, ed ove 

 può essere anche m=*n, o m = 0, e quindi possono mancare rispettiva- 

 mente il primo o il secondo sommatorio. 



Se tale doppia rappresentazione esiste, facendo la differenza si avrà 



m n n 



= Y 6i{x + ai t) + >_ f/i{x + fot) + y hi(x + Y it) 



1 m m 



ove 6 = f — (f . 



Intanto, per il primo teorema tale identità è impossibile, a meno che 

 le 0,y,h siano polinomi di grado 2n — m — 2 al più; e resta dimostrato 

 l'assunto. 



Ne segue il corollario: 



Una funzione F(x , t) il cui modulo massimo sia finito, se è decompo- 

 nibile nella somma di n funzioni f(x — al), anclie esse aventi modulo mas- 

 simo finito, lo è in modo unico e determinato. 

 Infatti sarà allora 



mod f ; mod g ; 



tutti minori di A ; quindi mod P limitato. Ora un'altra decomposizione dif- 

 ferisce da questa per dei polinomi, e quindi non potremo avere 



mod <p ; mod h 



finiti. In altri termini: per il ragionamento fatto, le d,g,h devono essere 

 dei poliuomì da un lato e quindi il loro modulo massimo è l' co . Dall'altro, 

 se esistesse una doppia decomposizione del tipo detto, i loro moduli debbono 

 restare finiti ; e quindi vi è contraddizione. 



4. È facile poi notare che, nell' ipotesi che vi sieno derivate ??-sime, la 

 decomponibilità della F in n funzioni del tipo detto equivale ad affermare 



