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Matematica. — Invarianti e covarianti metrici nelle deforma' 

 sioni di specie superiore delle superficie. Nota I di E. Bompiani, 

 presentata dal Socio G. Castelnuovo. 



1. In una Nota (') di carattere preventivo sulle deformazioni delle su- 

 perficie che lasciano invariati gli elementi lineari e le prime )• — 1 curva- 

 ture delle sue curve (de formazioni di specie v), ho mostrato che una su- 

 perficie è individuata, rispetto al gruppo di tali deformazioni, dalla cono- 

 scenza delle v forme differenziali binarie 



*V = Z s ( 2 f ) |> , 0;, fi — S , s] dui*- dui -f ('^ ) |> , , , fi] du* du\ -f- 



+ *Z, ( 2 f ) [* • t* — s , , ff\ du\ 'du*f 



(P = 1 v ) 



ove 



X U «A* ( ti t//f 



essendo oC i (Ui,u 2 ) (i — 1 , ... , ri) le coordinate di un punto generico della 

 superficie di S„ che si vuol deformare: cioè se due superficie, i cui punti 

 siano riferiti agli stessi parametri u x , u t , si corrispondono in una deforma- 

 zione di specie v, i simboli [Ji,k.l,m~] che figurano in P 2 , P 4 , ... , F M 

 hanno gli stessi valori in punti corrispondenti, e viceversa. 



Le forme precedenti sono le più semplici per individuare una super- 

 ficie rispetto ad un tale gruppo quando sia assegnato il sistema coordi- 

 nato «i , u 2 le cui linee (u x = cost. , u 2 = cost.) si corrispondono sulle due 

 superficie applicabili di specie v , in quanto ciascuna introduce, come coeffi- 

 cienti, simboli [ 3 non contenuti nelle precedenti e caratteristici di una de- 

 formazioue la cui specie supera di L la precedente. 



Ma esse non sono atte a costruire una teoria invariantiva poiché un 

 cambiamento di variabili (u x , u 2 ) in (u[ , u[) ne muta completamente la 



(") Basi analitiche per una teoria delle deformazioni delle superficie, di specie 

 superiore (questi Rendiconti, voi. XXV, 1916!). Allo stesso argomento si collegano le 

 altre mie Note: Problemi nuovi di geometria metrico-differenziale (ibid., voi. XXIV, 

 1915i); Affinità e superficie applicabili (voi. XXVI, 1917,). 



(*) Ricordo che E. E. Levijjha chiamato ordine di un simbolo \Ji ,k .1 ,mf\ il mag- 

 giore dei due numeri h + k , l -\- m . Se h-\~k = l-\-m il simbolo si dice principale; 

 altrimenti, dedotto.QPer le citazioni e maggiori particolari cfr. Basi analitiche ecc. 



