struttura (introducendo derivate di u x , u» rispetto ad v[ , u\ fino all'ordine v 

 incluso). 



Il problema della ricerca degli invarianti e dei covarianti assoluti di 

 una superficie rispetto alle deformazioni 'di 'specie v, cui sono destinate 

 questa Nota ed una successiva ('), si spezza nei seguenti: 



1°. Costruzione di espressioni invarianti in una deformazione di 

 specie v , quando si lasci immutato il sistema di linee u y , u 2 . 



2°. Formazione, per mezzo delle precedenti, di espressioni covarianti 

 o invarianti (relativi) rispetto alle trasformazioni di linee coordinate. 

 3°. Costruzione degli invarianti e covarianti assoluti. 



Il primo problema è di carattere differenziale ; gli altri due sono di 

 carattere algebrico; per il primo bastano le forme F 2 ,,. , per gli altri ci 

 serviremo di un nuovo sistema di [orme simboliche L a (fi^v) i cui coeffi- 

 cienti hanno la proprietà di trasformarsi per un cambiamento di variabili 

 come i coefficienti di una forma algebrica (e i loro quadrati lianno un no- 

 tevole significato geometrico). 



11 risultato fondamentale di questa ricerca è l'estensione del « theorema 

 egregium » di Gauss sull'invarianza della curvatura di una superficie nelle 

 applicabilità; proveremo infatti l'esistenza {dandone l'effettiva costruzione) 

 di un sistema & invarianti e di covarianti per deformazioni di specie 

 v — 1 contenenti i coefficienti della forma die (insieme con le precedenti) 

 seroe ad. individuare le deformazioni di specie v . 



2. Partiamo da alcune osservazioni elementari relative al problema 1°. 

 In una deformazione di specie v sono invarianti tutti i simboli principali 

 d'ordine < v ed ogni invariante è funzione di essi. 



Però la differenza 



per k ed l > 1, pur essendo costruita con due simboli principali di or- 

 dine )■ , risulta ( 2 ) esprimibile per soli simboli principali d'ordine < v — 1 , 

 quindi è invariante per deformazioni di specie v — 1 . 

 Altrettanto accade, com'è evidente, per la differenza 



\_h , k , l , m\ — III — 1 , A -f- 1 , J-f- 1 , » — 1] 

 h-\-k = l-\-m= v 



per h ed m > 1 , ovvero 



[h , k , l , ni] 



[A+l , k — 1 , , m+ 1] 



L 



>i-h,h 



— L 



( 1 ) Anche queste Note hanno carattere preventivo 



( 2 ) Basi analitiche tee, pag. 632. 



