5. Poiché le forme simboliche possono considerarsi, nei riguardi 

 delle trasformazioni di variabili sulla superficie, come forme algebriche nei 

 differenziali dui,du 2 , possiamo, con le regole note per queste, costruire 

 gli invarianti e i covarianti in una de formazione di specie v. 



Basta eseguire le spinte sulle forme L^ip = 1 , ... , v) e sui covarianti 

 che così se ne deducono, fino a trovare un sistema completo d'invarianti. 

 Bisogna però tener presente che, operando su L^. di indici diferenti, si 

 ottengono covarianti o invarianti simbolici, poiché vi figurano prodotti di 

 matrici fra loro diverse: si otterranno invarianti o covarianti effettivi 

 moltiplicando due di quelli simbolici contenenti matrici delle stesse di- 

 mensioni (in particolare facendone il quadrato). 



6. Il teorema fondamentale corrispondente a quello di Gauss è il se- 

 guente : 



G-U invarianti e i covarianti effettivi che si ottengono a partire dalla 

 sola forma L v (che, con le precedenti, serve a caratterizzare le deforma- 

 zioni di specie v) restano tali nelle deformazioni di specie v — 1 . 



Basterà provarlo per le spinte eseguite direttamente su L v ; perchè gli 

 altri covarianti o invarianti si formano con esse e con le spinte eseguite 

 sul sistema di L v e delle spinte già trovate. Ma poiché le spinte prima 

 considerate risultano già forme effettive e non simboliche, non si potrà ope- 

 rare su di esse e sulla L v senza ottenere invarianti o covarianti simbolici; 

 mentre il teorema vale per i covarianti effettivi (non ottenuti come prodotti 

 di quelli simbolici). È poi naturalmente da escludere la spinta nulla ese- 

 guita su L s , cioè L 2 , che dà appunto la v-esima forma fondamentale. 



La r-esima spinta eseguita su L, è definita dall'operazione. 



a r a r\ " R— r )CF .f ( u Jr\ ri* vu 



(per avere un risultato non nullo, dev'essere r pari e <. v) ; quindi 



^ J-H-ft-p , ft+p iJ-»-ft— r+p,h+r— p a,U\ UU 2 



Dimostriamo che i coefficienti di questa forma (che pure contengono 

 derivate d'ordine v) sono invarianti (fissate le linee coordinate sulla super- 

 ficie) per deformazioni di specie v — 1 (invece che v). 



Il coefficiente di du\ l ' , ~ rì ~ t dui in questa forma, per t <- v — r, è 



t+k+p , r-t-t-k-p 



(mentre, se fosse t > v — r, basterebbe scambiare u x con u 2 ; quindi scam- 



