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3" designamo con 



(1) 



una funzione delle x che ha il valore dell'integrale di Lebesgue della 

 funzione f, esteso a G(x) , per ogni valore di x in (a J>) fuori dell'in- 

 sieme X, e che è arbitrariamente definita in X; la funzione (1) è som- 

 mabile in (a , b) , e si ha 



( 2 ) C A* >y,*i •••) dx dy dz ... — f afa: f ,y , 2 . ...) afy fite ... 



Ja JG{x) 



Secondo questo teorema di Fnbini si può dunque sempre ricondurre il 

 calcolo dell' integrale di una qualunque funzione sommabile, esteso ad un 

 insieme di S n , al calcolo di un integrale esteso ad un insieme di un S,,..! 

 variabile, seguito da quello di un integrale semplice (esteso ad un inter- 

 vallo) e quindi anche al successivo calcolo di n integrali semplici; fornisce 

 sempre, cioè, come si dice, la riduzione degli integrali multipli. 



Pei- le applicazioni alle ordinarie questioni di Analisi (ad esempio, nella 

 teoria delle equazioni alle derivate parziali, delle equazioni integrali, ecc.) 

 mi è parso sempre utilissimo stabilire sotto quali condizioni il teorema di 

 Fubini rimaue valido nel campo delle funzioni uou limitate che ammettono 

 un integrale generalizzato di Riemanu, imponendo, nella riduzione, di non 

 eseguire che integrali di Riemanu 



In questa e in successive Note esamino appunto la questione ora enun- 

 ciata, giungendo a regole nuove per la riduzione degli integrali multipli 

 generalizzati di Riemann, regole che si manifestano soprattutto (cfr. gli 

 esempi al u. 8) assai utili per le applicazioni indicate. 



Non così mi pare si possa dire delle regole già note che si trovano 

 nei trattati, le quali sono raramente applicabili e talune riescono quasi 

 sempre di laboriosa applicazione. Ai criteri ottenuti qui sono vicini quelli 

 dati dal De la Vallèe-Poussin (nel suo Cours d' ' Analyse) nel caso partico- 

 lare di una funzione /' non negativa, generalmente continua con punti iso- 

 lati di discontinuità. 



Avendo in vista le applicazioni, mi sono limitato a stabilire quei cri- 

 teri considerando le condizioni di cose che si presentano, d'ordinario, nei 

 pi'oblemi dell'Analisi. Ma non è difficile stabilire gli stessi criteri in ipo- 

 tesi molto più larghe, abbandonando, per esempio, quella della misurabilità 

 secondo Jordan degli insiemi ai quali si estendono gli integrali. 



(M Queste risultato è dimostrato nel modo più semplice ai n. 1 43 e 44 del recente 

 brillante libro del De la Vallèe-Poussin, Integrala de Lebesgue, fonctions d'ensemble, 

 classes de Baire [Paris, Gauthier-Villars, 1916, collection Borei]. 



(") Uso locuzioni e notazioni del Cours d'Analyse mfinitésitnale del De la Vallèe- 

 Poussin 



