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1. Chiamiamo qui dominio ogni insieme di punti E, ad un numero 

 qualunque di dimensioni, limitato, chiuso, dotato di punti interni e misu- 

 rabile (J) ('); ■porzione di un dominio E ogni dominio contennto in E. 

 Sia P un punto del dominio E: diremo che questo punto è singolare per 

 l 'integrabilità (R) [al senso di Rieinann] di una funzione /% se, comunque 

 si assegni un numero positivo «, si può sempre trovare una porzione di E, 

 contenente P, di diametro minore di e, sulla quale la funzione non è inte- 

 grabile (R). 



La funzione f possegga nel dominio E un'infinità di punti singolari 

 per la sua integrabilità (R). Questi punti costituiscono un insieme F che si 

 dimosira essere chiuso e che supporremo pur esso misurabile (J). Se la 

 funzione f riesce definita (limitata e) integrabile (R) in ogni dominio A 

 contenuto in G = E — F, dirò che V insieme F è in E l'insieme dei punti 

 singolari per l'integrabilità (R) della funzione f . 



Può darsi che 



tenda ad un limite determinato e finito allorché la misura di A tende alla 

 misura di Gr = E — F. Se ciò avviene, diremo, con Jordan ( 2 ) che la fun- 

 zione f possiede un integrale generalizzato (R) esteso al dominio E, od 

 anche che la funzione [ è in E integrabile (R) in modo generalizzate. 

 Porremo dunque per definizione 



(B) f/(P)^P= lim f f{P)dP, 



J & mA — mG JA 



se questo limite è determinato e finito. 



Nel Jordan (loc. oit.) è dimostrato che: 



1°. Condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione f possegga 

 un integrale generalizzato (Rj esteso al dominio E, è che, ove il dominio 

 A varii in G, sia 



lini |'/(P)^P = 0. 



2°. Condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione ..ssegga 

 un integrale generalizzato (R) esteso al dominio E, è che un tal ntegrale 



(') Misurabile secondo Jordan. Quando diremo che un insieme è misurabile, senza 

 altro, intenderemo che è misurabile 'secondo Lebesgue. Così pure la misura (Jj di un 

 insieme sarà la sua misura secondo Jordan; la misura sarà la sua misura secondo 

 Lebesgue. 



( 2 j Jordan, Court d'Analyse (2 m ' J éditionj, t. II, pag. 75 e segg. 



