sia posseduto dalla funzione \f\\ e si ha allora 



(R) £/(P);ÌP 



(B) LlAP)|rfP (') 



/ ili 



2. Dimostriamo il 



Teorema I. — Se la funzione f possiede un integrale generaliz- 

 zato (R) esteso al dominio E, essa è sommabile in G, e risulta 



(R)£ap) ^p = (L)£ap) dP. 



Designamo con H quella parte della frontiera di G che appartiene 

 a G. Essendo G misurabile (J), esisterà una successione di dominii 



(3) A 1 , Ai , ... , ^„ , ... 



contenenti, ciascuno, ri precedente e tutti contenuti in G, avente per li- 

 mite G — H. Gli insiemi 



H + A x , H-f- Ai , ... , H -f- A n , ... 

 avranno dunque per limite G. Poniamo: 



G A = G(/(P)>A) , G^» = [H + ^ M J(/(P)>A) (»); 



dico che G A è misurabile. Si ha invero: ' 



G A == lim G A '\ 

 n=o> 



mentre, essendo H di misura nulla e /(P) integrabile (R) in A n , l'in- 

 sieme G^isurabile. 



Ne segue, intanto, che f(P) è misurabile in G. Anche \f\ possiede un 

 integrale generali'^ato (R) esteso al dominio E; e se dimostriamo la som- 

 mabilità di \ f\ in G, ne seguirà quella di f. Prendiamo la successione (3) 

 per modo che risulti 



mG — mA n <C~ , 

 e designamo con \f\ n la funzione |/| limitata al numero positivo n ( 3 ). 



( l ) Una rigorosa trattazione elementare dell'argomento, nella quale sono ottenuti 

 risultati assai utilmente avvicinabili a quelli del Jordan, trovasi nel libro del Bagnerà: 

 Corso d'Analisi infinitesimale (Palermo, 1915), n. 1 105, 106, 117, 118, 119, 120, 121» 

 130, 132, 133, 134. 



(*) Con la notazione E (/(P)> A) indico quella parte di E in cui è /'(P)>A. 

 ( 3 ) Poniamo cioè \f\ n = \f\ quando è |/| <.w , \f\ n = n, quando è \f\ > n . 



