— 267 — 



Si ha: 



(4) (L)f Q \f\ n dP = 



= (L) | / 1. rfP + (L)J G _^ | / U rfP ^ (B) | / 1 dP + i ; 

 ne segue che l' integrale 



(L)j Q \r\ n d? 



è, rispetto ad n, limitato, e quindi la sommabilità di \f\ e di f. 

 Dalle (4) si deduce poi, passando al limite per n infinito, 



(5) (L)f G \f\d?^(n)f E \f\d?. 



D'altra parte, se consideriamo un qualunque dominio A contenuto in Gh 

 si ha: 



(L)jj/|tfP = 



- lim j(L) \\f\ndY\ > lim j (Lì f dP { — (B) f |/|rfP, 



poiché, da un certo momento in poi, si avrà, in A, \f\ n = \f\. Facendo 

 ora tendere la misura di A a quella di G, si potrà asserire che 



(L) j G i/'|rfP>(R)J E i/|«;p, 



relazione questa che, con la (5), dimostra completamente il nostro teorema 

 per la funzione non negativa \f\. Ma il teorema risulta subito dimostrato 

 anche per una funzione f, di segno comunque variabile, pensando che, posto 



2A=|/| + / , 2/ t = |/-|-/, 



si ha 



A>o , a>0 , f=h-U • l/i = A+A 



e che dall'integrabilità (R) in [modo generalizzato di l/| in E, ne segue 

 quella di f v e di f t . 



Rendiconti. 1919. Voi. 



.il. 2° Sem. 



35 



