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Matematica. — Un principio di riduzione nello studio delle 

 corrispondenze algebriche. Nota del Socio Corrado Segre. 



1. Il principio di cui intendo far cenno è già stato usato in qualche 

 caso particolare; e si presenta oltremodo spontaneo. 



Per maggior chiarezza esporrò anzitutto alcuni esempi. 



Si abbia una corrispondenza (2,2) fra due campi binari, rappresentata 

 da un'equazione f(x;y) — 0, omogenea e quadratica tanto nella coppia di 

 variabili XiX t , quanto nelle y x y x . Ponendo 



( 1 ) X 9 = x\ , X, = x x Xt . X 2 = x\ , 



(2) Y =?/r, X x =y xVi , Y t = y\i 



quell'equazione si ridurrà ad un'equazione bi Lineare F(X;Y)=0 tra le X* 

 e le Y*. D'altra parte, assumendo queste due terne di quantità come coor- 

 dinate di punti su due piani (distinti o no), le (1) e (2) servono a rappre- 

 sentare i due campi binari sui punti X , Y di due coniche. La P = pone 

 una reciprocità fra i piani di queste curve. E la data corrispondenza (2 , 2) 

 risulta rappresentata da quella che intercede fra quei punti delle due co- 

 niche, i quali son reciproci iu quella reciprocità. 



Così l'ente « corrispondenza (2 , 2) fra campi binari » si muta in quest'al- 

 tro : « reciprocità fra due piani, su cui son fissate due coniche » ('). 



Ciò porta subito a considerare, per esempio, il discriminante della re- 

 ciprocità. E^so sarà un invariante della corrispondenza (2 , 2). Il suo annul- 

 larsi significa che la reciprocità degenera in una projettività tra due fasci 

 di rette. Ora questi fasci segano, rispettivamente, sulle due coniche, due in- 

 voluzioni. La corrispondenza (2,2) si riduce dunque, se quell'invariante è 

 zero, a una projettività fra due involuzioni dei due campi binari (*). 



2. Si tratti ora di studiare le corrispondenze trilineari fra due forme 

 di l a specie ed una forma S, che possiamo supporre di l a , od anche di 2 a , 

 3 a , ... specie. Se nelle prime due forme le coordinate omogenee sono x x x t 

 e //] y t , esse compaiono nell'equazione trilineare per mezzo dei monomii 



(3) X, =x i //i , X t = x t y t , X 3 =Xiy % , X< 



(') Dal n. 6 risulterà anche, nel caso ordinario, la rappresentazione col sistema di 

 due coniche di un piano. 



(*) Cfr. A. Capelli. Sopra la corrispondenza (2,2) ecc., Giorn. di mat., 17 1879, 

 pag. 69. Alla pag. 95 ti trova il suddetto invariante. 



