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Perciò l'equazione si riduce a forma bilineare nelle X, e nelle coordinate 

 dell'elemento s di S. 



Per le (3), si possou riguardare le X,- come coordinate di un punto su 

 una quadrica rissa Q: quadrica che rappresenta coi suoi punti le coppie di 

 elementi delle prime due forme geometriche (essendo queste l'orme riferite 

 ai due regoli di Q, ecc.). L'equazione data si è ridotta, nelle variabili X;, 

 all'equazione di un piano, dipendente linearmente da s: e quindi variabile 

 in un fascio, o in una stella, o in tutto lo spazio. A questo sistema lineare 

 di piani è riferita la forma S. Le terne della trilinearità son figurate da 

 punti di Q, presi con piani passanti per essi del fascio, stella, o spazio. 



Si riconoscon subito su questa rappresentazione tutte le proprietà note 

 della corrispondenza trilineare tra forme di L a specie. Così le coppie neutre 

 delle prime due forme son date dai punti di Q situati sull'asse del fascio 

 di piani ; ecc. ecc. 



3. Similmente una corrispondenza quadrilineare tra 4 forme di l a spe- 

 cie, di elementi x y z t, ha un'equazione che, poste le (3) e le analoghe 



(4) Y, = *, tt . Y 2 = *, t t , Y 3 = *, t t , Y 4 U ■ 



si riduce ad un'equazione bilineare fra X e Y. Si ha dunque una recipro- 

 cità fra gli spazi delle due qnadriche Q . Q' luoghi dei punti X,Y; e le 

 quaderne della corrispondenza quadrilineare son rappresentate dalle coppie 

 di punti di Q , Q r reciproci in quella reciprocità. 



Questa rappresentazione (con un'altra che ne deriva, analoga a quella 

 del n. 6) si trova . svolta ed applicata in una mia Memoria, in corso di 

 stampa negli Annali di Matematica, Sulle corrispondenze quadrilineari tra 

 forme di l a specie, ecc. 



4. Generalizziamo alquanto la rappresentazione del n. 1. 



Si abbia cioè fra i due campi binari una corrispondenza (m , n) di 

 gradi qualunque. Si tradurrà in un'equazione f{% ; ij) = , che si può porre 

 sotto forma d'una relazione bilineare P(X;Y)=0 tra le due serie di 

 quantità 



(5) X< = x?- 1 x\ («'=0,1, ... m) 



(6) Y l; =y>r k yt (A = 0,1,...») 



Possiamo considerare queste cetile le coordinate dei punti di due curve ra- 

 zionali normali, G m di S m , G n di S n . L'equazione P = pone, fra i due 

 spazi S m , S„ una reciprocità, nel senso più generale della parola: ossia una 

 corrispondenza, che è una reciprocità ordinaria, se m = n; mentre se, ad 

 esempio, m^>n, essa equivale ad un'ordinaria reciprocità fra S„ e la forma 

 fondamentale di specie n costituita dagli spazi che, entro S„, , passano per 

 un \_m — n — 1] . 



