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La corrispondenza (m,n) è rappresentata da quella che ha luogo fra 

 punti X,Y di C m ,C M , i quali son reciproci nella P: cioè tali, anche se 

 m > n , che X sta nell' iperpiano di S m corrispondente ad Y nella reciprocità. 



Si abbracciano tutti i casi possibili, anche di reciprocità degeneri, am- 

 mettendo l'esistenza in S w , S n , rispettivamente, di due spazi singolari 

 [m — r — 1] , [n — r — 1] , per la reciprocità F : sicché questa si riduce 

 ad un'ordinaria reciprocità, non degenere, tra le forme fondamentali composte 

 degli spazi passanti per quei due. Allora, proiettando da quegli spazi sin- 

 golari, e segando con due S r di S m , S„ . avremo in questi S r due curve ra- 

 zionali (in generale d'ordini m,n), e fra gli spazi stessi una reciprocità 

 non degenere, la quale servirà a definire fra i punti delle due curve la cor- 

 rispondenza (m ,n) . 



5. Il numero r. ora introdotto, si ottiene dalla data corrispondenza nel 

 seguente modo. Posto 



f(x ; y) = 2 ciik x\ xT { yì VV* • 



r + 1 indica il rango, o caratteristica, della matrice |«i»J. Le forme d'or- 

 dine m delle x, che in f moltiplicano i sìngoli monomi nelle y , saranno 

 combinazioni lineari di r -4- 1 forme, e non meuo; e così pure le analoghe 

 forme d'ordine n delle y. Ciò equivale a dire che f si può rappresentare 

 come somma di r-j-l prodotti (e non meno) di una forma delle x per una 

 forma delle y ■ 



(7) f(x ; y) = <p a {x) ipo(y) -f h <p r {x) xp r {y). 



La corrispondenza (m , n) associa, ai singoli elementi di un campo bi- 

 nario, oc 1 gruppi GU o Gr„ dell'altro campo: i quali staranno precisamente 

 in un'involuzione oo r ; , g r m o g r n . e non in una di dimensione minore di r. 

 È questo un significato geometrico del carattere r della corrisponden'/a. 



Se ora assumiamo 



(8) Xi = g>i(x) , Yi = tpi(y) (i = 0,1 ,...>), 



i punti X,Y descriveranno in due S r due curve razionali (eventualmente 

 multiple) di ordini m , n (supposto che la f non sia divisibile per una forma 

 delle sole x, nè per una delle y). La nostra corrispondenza f(x;y) = 

 sarà, per la (7), rappresentata su quelle curve dalla relazione 



(9) ;?X 2 Y< = 0, 



che pone fra ì due S r una reciprocità non degenere: come s'era ottenuto 

 alla fine del n. 4. 



6. Ma potremo anche trarre dalle ultime formole un'altra rappresenta- 

 zione. 



