— 311 — 



Interpretiamo cioè le Xj come coordinate di punto, e le Y; come coor- 

 dinate d'iperpiano, in uno stesso S r , rispetto ad uno stesso sistema di rife- 

 rimento; sicché la (9) sarà la condizione d'incidenza del punto X e del- 

 l' iperpiano Y. Allora, per le (8), X descrive una curva razionale C m d'or- 

 dine m, immersa in S,; e ]' iperpiano Y una oo 1 razionale d'iperpiani r n , 

 di classe n, non conica, e però costituita dagl' iperpiani osculatori di una 

 curva razionale immersa in S r . Su queste due varietà, C e T, son rappre- 

 sentati i due campi binari {x) , (y) , fra cui si aveva la corrispondenza 

 (m , n) . E la corrispondenza stessa diventa quella che intercede fra punti 

 di G m e iperpiani di r n che si appartengono. 



Se la medesima corrispondenza (m , ri) viene rappresentata nello stesso 

 modo con un'altra curva-luogo Of e una inviluppo di un S r , esisterà 

 una collineazione fra i due S r , che muta simultaneamente C e F in G ì 

 e F . Infatti, essendo il campo binario (x) riferito tanto a C quanto a C L , 

 e così il campo (y) a JH e a 1^ , si ha tra C e C, una corrispondenza bi- 

 univoca tale (per l'ipotesi) che ai gruppi Gr, n , segati su C dagli iperpiani 

 di r, rispondono i gruppi G m segati su C t dagli iperpiani di r ; . Per con- 

 seguenza, alla ^ di C , che congiunge tutti i primi G m (n. 5), corrisponde 

 la G r m di Ci che congiunge i Gr m considerati di questa. Ossia: alle sezioni 

 iperpiane di C rispondono le sezioni iperpiane di C, ; la corrispondenza bi- 

 univoca fra i punti di C e Ci è contenuta in una collineazione, la quale 

 evidentemente farà anche corrispondere tra loro r e r x . 



Da quest'osservazione deriva facilmente che : la geometria projettiva 

 (teoria invariantiva) delle corrispondenze (m , n) fra due campi binari distinti 

 (cioè soggetti a sostituzioni lineari indipendenti) equivale alla geometria 

 projettiva di due curve razionali, l'ima d'ordine m, l'altra di classe u, di 

 uno stesso spazio S r : ove r è quello dei due numeri m,n che non supera 

 l'altro; o, più in generale, indica il rango della matrice dei coeffi- 



cienti delle corrispondenze; ossia r è la dimensione della serie lineare (in- 

 voluzione) che congiunge i gruppi di elementi dell'un campo binario corri- 

 spondenti ai singoli elementi dell'altro campo 



7. Infine passiamo al caso più generale: che si abbia una corrispon- 

 denza (o connesso) fra due o più campi, di qualsiansi dimensioni, rappre- 



I 1 ) La rappresentazione ora considerata (n. 6), e quest'ultimo teorema, sono stati 

 enunciati — sotto una forma che qui si è completata — da G. Kuhn, U. eine geome- 

 tria- h,p Deutung der Invarianten doppili binàren Formtn, Jahresb. Deutsch. Math. Ve- 

 reinigung, .5, 1896, p. 58 [Ct'r. anche l'applicazione alle corrispondenze (3.3) e cubiche 

 sghembe in Math. Ann., 52, 1899, p. 293]. 



Come verifica dell'ultimo teorema, si può notare che il numero degl'invarianti as- 

 soluti indipendenti delle corrispondenze (m , n) di carattere r e uguale a quello degl'in- 

 varianti assoluti che ha, entro S,., il sistema di due curve razionali, una d'ordine in, 

 l'altra di classe n. Ambi i numeri valgono (r -\- 1) (m -f- n) — r° — 6. 



