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sentata da un'equazione algebrica 



(IO) f{x x x t ... ; y x y 2 ... ; «, z t ... ; ...) =0 



dei gradi m,n,p... rispettivamente nei diversi gruppi di coordinate omo- 

 genee. 



Si potrà allora ricorrere alla varietà, i cui punti han per coordinate i 

 vari monomi di grado m nelle x\ e alle analoghe per le // , z , ... Con ciò 

 la (10) si ridurrà ad un'equazione plurilineare fra i punti di quelle varietà, 

 e quindi ad una corrispondenza plurilineare tra i loro spazi. — Oppure si 

 prenderanno insieme due o più elementi x , >j , ... considerando la varietà dei 

 punti le cui coordinate si esprimono, colle forme di grado m nelle x e di 

 grado n nelle y , ... ; e similmente la varietà rappresentata in modo analogo 

 coi rimanenti elementi, o con una parte di essi; proseguendo ulteriormente, 

 se ancora rimangono elementi. Si otterrà così dalla (10) una relazione bi li- 

 neare ; od anche plurilineare, ma fra un numero di campi ristretto quanto 

 si vuole. La teoria delle reciprocità, e, in genere, delle corrispondenze plu- 

 rilineari, troverà applicazioni. Si verrà a fare una specie di riti licione: delle 

 corrispondenze, di gradi qualunque, fra un cerio numero di eampi, in' corri- 

 spondenze plurilineari, fra un 'numero di eampi minore od uguale a quello. 



Così, in particolare, le corrispondenze plurilineari si ridurranno a cor- 

 rispondenze plurilineari fra un minor numero di campi, introducendo le note 

 varietà che rappresentano le coppie, terne, ... di punti di due, tre ... spazi. 



8. Vi saranno da considerare dei caratteri come la r del n. 5. Si scin- 

 dano cioè, comunque, gli spazi tra cui si ha la corrispondenza, in due gruppi. 

 I punti di un gruppo siano x ,y , \ quelli dell'altro t , u . ... Un carattere 

 del connesso sarà il minimo numero r tale che /' si possa scrivere come 

 somma di r — (— 1 prodotti di una forma delle coordinate a ,//,... per una 

 forma delle t , U , ... Similmente, spezzando i campi in 3, o più gruppi. Il 

 significato geometrico di questi caratteri è analogo a quello indicato al n. 5, 

 pel caso che là si considerava. 



Se si fa la riduzione ad un legame bilineare, si può anche, come al 

 n. 6 o come nella mia Memoria citata al n. 3, dare a quel legame il si- 

 gnificato di incidenza fra punti e iperpiani di un S r . Così si otterranno 

 rappresentazioni della corrispondenza (10) simili a quelle ora citate per le 

 corrispondenze (m,n). e per quelle quadrilineari, fra campi binari. 



