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Eseguendo poi le spinte fra il covariante gaussiano trovato e Lf o L t 

 (cioè, trattandosi qui di tre forme quadratiche, costruendo i loro invarianti 

 simultanei), si hanno ancora gli invarianti relativi 



EL, 2 — 2FL n -(- GLjo 

 E (L 21 Los — L] 2 ) — F (L 30 L 3 — L21 L 12 ) -p Gr (L 30 L 12 — Lf,) 

 L 20 (L 21 L 03 — L12) — L u (L 30 L 3 — L 2 i L 12 ) -f- L 2 (L 3o L ìt — L|i) 



Il primo ed il terzo sono invarianti simbolici; se ne ottengono due effettivi 

 facendo il quadrato di ciascuno di essi. 



Dividendo i 6 invarianti ottenuti, ciascuno per una conveniente potenza 

 di EG — F 2 , si ottengono i 5 invarianti assolti di una deformazione 

 di 2 a specie f 1 ). 



Per le deformazioni di 3* specie mi limito a formare le spinte eseguite 

 sulla forma simbolica L, che sono (a meno di coefficienti numerici) 



(L40 L 22 — L 3) ) du\ + 2 (L 40 L 13 — L 31 L 22 ) du\du t + 

 + [(L 40 L 04 — L 31 L, 3 ) + 3 (L 31 L 13 — L^)] dui dui + 

 -f- 2 (L 3 1 L<h — L 22 L 13 ) dui dui + ( L 2 5 L 04 — L 13 ) dui (2 a spinta) 

 L 40 L .f — ■ L 31 L 13 — 3 (L 3 i L 13 — Ll t ) (4 a spinta) ; 



si sono raggruppati i termini in modo da mostrare la loro invarianza nelle 

 deformazioni di 3 a specie. L'invariante assoluto che si deduce da quello re- 

 lativo scritto è l'analogo della curvatura di Gauss; per avere quelli che si 

 sono chiamati invarianti e covarianti gaussiani, bisogna ancora operare sulla 

 2 a spinta. 



3. Qual'è il significato dell'annullarsi identico degli invarianti e cova- 

 rianti gaussiani? A questa domanda (che estende alle deformazioni di specie 

 qualsiasi la ricerca delle superficie a curvatura nulla per le applicabilità) 

 risponde il seguente teorema: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè una superficie sia applica- 

 bile di specie v — 1 sopra una superficie di un S p , essendo 



^ ( ff _l) (y + 2 )\ 

 - 2 / 



la dimensione degli S(v — \ )-osculatori generici della superficie data, è 



i 1 ) Il prof. E. E. Levi, nelli Memoria Saggio sulla teoria delle superficie a due 

 iimensioni immerse in un iperspazio [^Ann. R. Scuola Nurm. Pisa, voi. X], studiando le 

 superfìcie rispetto al gruppo dei movimenti, aveva già trovato gli invarianti di 2° ordine 

 di un tal gruppo (che sono appunto 5). Essi sono, come si vede subilo, invarianti per 

 deformazioni di 2 a specie. La loro forma differisce pero dalla nostra contenendo soltanto 

 derivate seconde; per l'introduzione dello derivate terze era necessari- > procurarsi l'esten- 

 sione del teorema di Gauss. 



