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che si annullino identicamente tutti i covarianti {in particolare l'inva- 

 riante se v — 1 è dispari) costruiti con le spinte eseguite sulla sola L H . 



Intanto è chiaro che per la superficie deformata, giacente in S p , sono 

 nulle tutte le matrici che figurano nei coefficienti di L,, (qualunque sia il 

 sistema di linee coordinate sulla superficie), quindi anche le differenze 

 W hi m — L/,.,^-,.., Li+ um -i : e poiché queste non variano per deformazioni 

 di specie v — 1, devono esser nulle pure per la superficie data, e quindi sono 

 nulle le spinte <w r (Lv,L„) (/' pari e <. v). Viceversa, se queste sono iden- 

 ticamente nulle, cioè se sono nulli i loro coefficienti, si annullano tutte le 

 differenze scritte (formate con prodotti delle L hk ). 



Basta osservare che tanto quelle differenze quanto quei coefficienti sono 

 v t v — i) 



in numero di e che, se una stessa differenza figura in due coeffi- 



a 



cienti diversi, vi è accompagnata da fattori numerici differenti (perchè di- 

 pendenti da r); e in conseguenza di ciò il sistema di equazioni, ottenuto 

 uguagliando a zero quei coefficienti, risulta a determinante ={= ('). 



Per v = 2 si hanno le superficie a curvatura nulla. 



4. Il teorema precedente è affatto generale e nulla suppone sullo spazio 

 d'immersione della superficie da deformare. Quando questo abbia dimensione 

 q -f- 1 ovvero q -j- 2 , si può caratterizzare facilmente la costruzione della 

 superficie deformabile. 



Cerchiamo le superficie di S ?+ì deformabili di specie v — 1 in una su- 

 perficie di Sp [come prima, q è la dimensione dello S(v — 1) osculatore ge- 

 nerico alla superficie]. Per effetto della dimensione ambiente (e non della 

 deformabilità) la superfìcie possiede, in generale, v sistemi semplicemente 

 infiniti di curve dotate della seguente proprietà : lo »S„ osculatore ad una 

 di esse in un suo punto è contenuto nello S(v — 1) osculatore alla super- 

 ficie nel punto ( 2 ). Può però accadere che questi v sistemi vengano a coin- 

 cidere in uno solo. Nel primo caso, assunte come linee coordinate sulla su- 

 perficie quelle di due sistemi distinti fra i v che possiede, le coordinate 

 dei punti della superficie soddisfano a due equazioni a derivate parziali 

 del tipo 



^ j = o — ' -| = 



ìui ' ' ì>ui T 



(') Il lettore può verificarlo per le deformazioni di 3 a specie sulle espressioni delle 

 spinte di L 4 date al n. 2, 



( a ) L'angustia dello spazio non mi concede di estendermi nella dimostrazione di 

 questo fatto proiettivo, nè di quelli che seguono. Per il lettore cui siano famigliari i 

 metodi della geometria, proietti vo-differenziale, essi non presentano difficoltà; in quest'or- 

 dine d'idee può vedersi la mia Nota Sullo spazio d'immersione di superficie possedenti 

 dati sistemi di curve [[st. Lombardo, Rendic, voi. XLVII, pag. 177] e due Note attual- 

 mente in corso di stampa negli stessi Rendiconti. Le curve qui indicate appartengono alla 

 famiglia delle quasi-asintoticke. 



