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ove i punti stanno ad indicare termini lineari nelle derivate parziali linear- 

 mente indipendenti d'ordine v — 1 (i coefficienti, funzioni di u x , w 2 , non 

 dipendono dall'indice i della coordinata xì). Con questa scelta risultano 

 nulli tutti i determinanti estratti dalle matrici L^ , L ov (il che indicheremo 

 brevemente scrivendo L v0 =!<„., =0) e quindi sono nulli tutti i prodotti 

 nei quali entri L s0 o L ov . 



Notiamo ancora che, se la superticie data non sta in S p (nel qual caso 

 il problema posto non esiste), uno almeno dei punti derivati d'ordine del 

 ^x Vx 



punto x, esclusi — - e — -, è fuori dello S(r — l)-osculatore in x; sia 

 ~Ò*X 



per es. — — { . Allora, per essere la superficie in S p+ , , dovranno ancora 



~ÒU[ ~òU-> 



esser soddisfatte dai suoi punti equazioni lineari a derivate parziali del tipo 



*^~^*p^ + 7 (*+*=*) 



(esclusi per h i valori 0, v — l e v; e per k i valori 0, 1 e v). I punti 

 hanno lo stesso significato di prima; non è escluso che alcune (anche tutte le) 

 a h]i siano nulle. Segue intanto di qua che Li m — a h1t ai m L*_^i ; quindi, 

 se è nullo L*_ u , sono nulli gli invarianti e covarianti gaussiani. Ma dal- 

 l'annullarsi di L vo L v _ 2)2 — I4_ M = — segue appunto L*_ M =0: 



Vx 



cioè, nel campo reale, che il punto — — , e perciò tutta la superficie, 



contro l'ipotesi, sta in S p . 



Rimane dunque da vedere se esistano superficie della specie voluta fra 

 quelle sulle quali tutti i sistemi di quasi-asintotiche considerate coincidono. 

 In tal caso, assunto questo come sistema w, (cioè w 2 =cost.), debbono va- 

 lere le equazioni a derivate parziali lineari ed omogenee 



3^ j = o — — 1 = o — l... = o- 



quindi sono nulle (indipendentemente dalle condizioni di deformabilità) 

 tutte le L^,s , eccetto Lj;„. Ma siccome L„ v non può entrare nelle differenze 

 del tipo L M ~L lm — L,,_ 1 , ft+1 Li +um _i , queste sono tutte nulle; quindi ogni 

 superficie di questo tipo soddisfa effettivamente al nostro problema. 



L'interpretazione geometrica delle Equazioni precedenti (sulla quale non 

 sto a fermarmi) porta al risultato seguente: 



Le sole superficie di S p+1 applicabili di specie v — 1 sopra una su- 

 perficie di S p , essendo q la dimensione dello spazio S(v — \)-osculatore 

 generico, sono quelle contenenti curve negli S p _ v+ i osculatori ad una curva. 



È poi chiaro che nella deformazione si conservano rigidi gli S p oscu- 

 latori alla curva ora nominata, e che la voluta deformazione si conseguisce 



