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appunto mediante rotazioni infinitesime di questi S p intorno agli S p _! oscu- 

 latori. (Per q — v = 2 si hanno le superficie di S 3 applicabili sul piano). 



5. Cerchiamo ora le superficie di S p+2 deformabili di specie v — 1 in 

 superficie di S p = S(i' — l)-osculatore. 



Bisogna anche qui, come nel caso precedente, distinguere le proprietà 

 proiettive della superficie risultanti dalla dimensione ambiente (g -f- 2), 

 dalle proprietà (proiettive e metriche) dipendenti dalle condizioni di defor- 

 mabilità. Si trova così che le superficie in esame posseggono un doppio 

 sistema di curve (permanente nella deformazione) dotato delle seguenti 

 proprietà : 



Gli Si, — 1)- osculatori alle curve di un sistema in 



v — h -f- 1 punti successivi di una curva dell'altro stanno in uno S(v — 1)- 

 osculatore alla superficie. 



L'unica condizione, per la voluta deformabilità, che rimane ancora da 

 considerare, è L vo L ov — L v _i,i L 1)V _ 1 =0; quindi, per le precedenti, 



L v0 L * = . 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una superfìcie di S p+2 sia 

 deformabile di specie v — 1 in una superficie di S p , essendo y la dimen- 

 sione dello S(v — l)-osculatore generico alla superficie, è che (quando 

 non appartenga al tipo già determinato nel n. 4) possegga un doppio si- 

 stema del tipo sopra specificato e che in ogni punto gli S p+1 , che dallo S p 

 ivi osculatore alla superficie proiettano gli S N ivi osculatori alle due 

 curve del sistema che vi passano, siano fra loro ortogonali. 



Anche nel caso delle applicabilità (o = v = 2) si ha un risultato che 

 credo nuovo: le superficie di S 4 applicabili sul piano, quando non siano 

 sviluppabili, posseggono un doppio sistema coniugato (ordinario) tale che 

 gli S 3 , che dal piano tangeate in un punto alla superficie proiettano i piani 

 osculatori alle due curve del sistema che vi passano, sono fra loro ortogo- 

 nali. L'esempio portato dal Killing (') soddisfa appunto a questa condizione. 



(*) Killing, Die Nichteuklidischen Raumformen in Analytischer Behandlung[Le\pzig, 

 Teubner, 1885], § 12, pag. 241. 



Rendiconti. 1 9 1 9, Voi. XXVIII 2° Sem. 



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