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Matematica. — Sulle curve piane algebriche reali prive di 

 punti reali. Nota di Luigi Brusotti, presentata dal Corrisp. L. Ber- 



ZOLARI. 



1. Una curva piana algebrica reale, cioè avente equazione a coefficienti 

 reali rispetto ad elementi reali di riferimento, quando sia d'ordine pari 2m, 

 può essere priva di punti reali. 



D'altro lato, se si osserva che le parti reali delle curve reali di un 

 fascio reale di curve piane algebriche costituiscono un fascio di curve 

 grafiche ( l ) e che un fascio di curve grafiche può essere o rientrante in sè 

 o dotato di estremi ( 2 ), appare ben lecito di applicare queste denominazioni 

 direttamente al fascio reale di curve algebriche. 



Ciò posto, risulta in modo semplice che, se un fascio reale di curve 

 piane algebriche contiene una curva reale priva di punti reali, esso è 

 dotato di estremi. Precisamente le sue curve reali si ripartiscono in due 

 continui, l'uno di curve dotate di punti reali, l'altro di curve prive di punti 

 reali, continui separati dai due estremi, per ciascuno dei quali la parte reale 

 è, in generale, ridotta ad un sol punto isolato. 



Per i fasci topologicamente generici ( 3 j è pur valida la reciproca. 



2. Segue che, se le curve piane d'ordine 2w sì rappresentano coi punti 

 di uno spazio S r ad r=m (2m-{-3) dimensioni, in modo che immagini 

 di curve reali siano punti reali, i punti-immagine di curve reali prive 

 di punti reali riempiono una regione K, ad r dimensioni, convessa (od 

 ovoide), quindi semplicemente connessa. 



Ed invero una retta reale di S r , la quale passi per un punto di K, 

 è immagine di un fascio dotato di estremi ed ha perciò in comune con K 

 un solo segmento, immagine del continuo costituito entro il fascio dalle 

 curve reali prive di punti reali. 



Risulta pure che un punto generico del contorno di K è immagine di 

 una curva la cui parte reale si riduce ad un punto isolato. 



Se inoltre si pon mente agli spazi reali subordinati ad S r , si deduce 

 che, se le curve di un sistema lineare reale oo' (t<^r) si rappresentano 



( l ) Brusotti, Sui fasci di curve grafiche (Suec. Brani. Pavia, 1919). Gfr. n. 34. 

 ( s ) Ibid., § 8 e § 9. 



( 3 ) Per la definizione di fascio topologicamente generico vedasi ibid., n. 117; ed 

 anche Brusotti, Un teorema sui fasci reali di curve algebriche (in questo volume di 

 Rendiconti) 



