coi punti di un S ( reale in modo che immagini di curve reali siano punti 

 reali, e se il sistema contiene curve reali prive di punti reali, i punti- 

 immagine di queste ultime riempiono una regione a t dimensioni, convessa 

 {quindi semplicemente connessa). 



3. Con queste premesse si può dimostrare che, se esiste un fascio reale 

 (topologicamente generico) di curve piane di ordine 2m, contenente curve 

 reali prive di punti reali e dotato di 2h-j-l centri critici reali ('), allora, 

 comunque si scelga il numero positivo lì '<_/&, esistono pure fasci reali di 

 ordine 2m, contenenti curve reali prive di punti reali e dolati di 2h'-\-l 

 centri critici reali. 



Sia (p il fascio del tipo detto e dotato di 2A-f-l centri critici reali; 

 sia (p l un fascio pure del tipo detto, ma dotato di 3 centri critici reali, fascio 

 di cui è nota l'esistenza ( 2 ). 



Supposti, come è lecito, g> e (p l in condizioni algebricamente generiche, 

 essi appartengono ad un oo 3 reale ed algebricamente generico, rappresenta- 

 bile nel modo indicato (n. 2) su di un S 3 reale. 



Siano allora ((p) (<pf) le rette (reali) immagini dei due fasci, e sia H 

 la regione convessa luogo delle immagini delle curve reali prive di punti 

 reali. In H, e rispettivamente su (g>) (<Pi), si prendano due punti P ePi e 

 si consideri una retta reale, la quale passi con continuità (in S 3 ) dalla po- 

 sizione (q>) alla (<p,), sempre appoggiandosi ad una linea congiungente P 

 con Pi e totalmente tracciata in H [il che è possibile, per esser H (n. 2) 

 semplicemente connessa]. 



Si osservi che in S 3 le curve dotate di punto doppio sono rappresentate 

 dai punti di una superfìcie J, la cui parte reale si compone: 



a) di una falda reale, con linee nodali e cuspidali rispondenti all'esi- 

 stenza, nel sistema, di curve (reali) dotate di due punti doppi reali o di cu- 

 spide reale; 



/?) di linee doppie isolate, per l'esistenza di curve (reali) dotate di 

 due punti doppi immaginario-coniugati. 



Punti eccezionali in numero finito spettano alla parte reale di J per 

 la presenza, nel sistema, di curve reali con tre punti doppi o con tacnodo- 

 o con due punti doppi di cui uno sia una cuspide. 



Per l'arbitrarietà del procedimento, si può supporre che la retta mo- 

 bile, passando dalla posizione (g>) alla (cp^, eviti codesti punti eccezionali. 

 Così è da escludersi che la retta venga a toccare la falda reale di J, perchè 



( 1 ) Centro critico è (secondo Cayley) un punto doppio per una ed una sola curva 

 del fascio, Se l'ordine è pari, il numero dei centri cntici reali (come quello totale dei 

 centri critici) è dispari. 



( a ) Brusotti, Esistono fasci di curve piane d'ordine n a punti-base e centri, critici 

 tutti reali (Rend R. Ist. Lomb., voi. LI, 1918). Vedasi la postilla alla prefazione. 



