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Matematica. — Spasi a tre dimensioni con una curvatura 

 nulla e le altre due eguali ed opposte. Nota di Attilio Pala- 

 tini, presentata dal Socio T. Levi-Civita. 



Ghiaino, col Bianchi, normale uno spazio curvo S 3 a tre dimensioni, 

 definito dal quadrato del suo elemento lineare 



3 



ds z — y_ rs a rs dxr dx s , 

 i 



quando colle linee delle sue tre congruenze principali si può costruire un 

 sistema triplo di superficie ortogonali. 



Io mi sono proposto lo studio del seguente problema : Trovare tutti gli 

 spasi normali S 3 dotati di una curvatura nulla e le altre due eguali ed opposte. 



Riserbandomi di sviluppare i calcoli in un'altra Memoria, nella presente 

 Nota espongo in riassunto i risultati ai quali sono giunto. 



1. Supposto che il nostro S 3 sia normale, è noto che il ds 2 corrispon- 

 dente si può presentare sotto la forma normale 



(1) ds 2 = Hf dx\ -J- Hi dx\ -f- H| dx\ , 



assumendo come linee coordinate le linee delle congruenze principali. 



Denotiamo con a rs i simboli di Ricci relativi alla forma differenziale (1) 

 e con «, , w 8 , «3 le tre curvature riemanniane principali. Per il fatto che 

 le congruenze principali sono normali, si ha 



a rs = (r 4= s) e u H = H? , 



ossia le fun zioni Hi , H 2 , H3 di X\ , x% , x% devono soddisfare alle sei equa- 

 zioni 



(2) 



^H, 



1 



J)H 2 



7)H, 



+ 



1 



Dti, 7)H, 



l)Xo ~òx 3 



~~ H ; 



ìx 3 



ìx t 



H 3 



l)Xt ~òX 3 





1 



7>H 3 



DH 2 



+ 



1 



TiH, 7)H 2 



~ÌX 3 DXi 



~~ H 3 



"i.ri 



^#3 



H, 



Dx s ìXi 



VH 3 



1 



7>H, 



Ì)H 3 





1 

 1 



7)Ho 7>H 3 



'^x 1 ìx 2 



~ H, 



~ìx 2 



~ÌXt 



IT 



~Ì)X\ ~òX 2 



