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Tk, \ìh ->x, ) T ->x, \H S te, I ~- E', ìz, ìx,~ 



JW1 2g,\ *\ 1 »]H, ' ^ 



v J ix, \H 3 i>z 3 f~ ~òxi \H 1 / 1 H| ìz 2 ìx t r 



7) / 1 7>H 2 \ D / 1' DH,\ 1 7>H, 7)H 2 



A queste equazioni aggiungiamo le conseguenze differenziali del Bianchi, 

 che, nel caso presente, sono le seguenti: 



{4) ^7 + {Wi ~ i~; + {Wi ~ i~: = ' 



(« = 1,2,3). 



Supposto ora che sia 



«! = — w 2 = w , o) 3 = , 



si tratta di vedere se il sistema differenziale (2). (3) ammette delle solu- 

 zioni; e, nel caso affermativo, di determinare le soluzioni più generali. 



Si noti, prima di procedere, elio deve ritenersi co essenzialmente diverso 

 da zero, altrimenti si cadrebbe ovviamente nel caso euclideo. Si noti inoltre 

 che le lìnee di curvatura, per le quali il ds 2 del nostro S 3 assume la forma 

 normale (1), sono uniche e determinate, perchè le tre curvature sono essen- 

 zialmente distinte. 



2. Facendo nelle (4) co x = — co ì = co e w 3 = , si ottiene 



Do» 1 ^H 2 1 7>H 3 



-f- 1(1) == -j- M Z= = , 



~ÒXi H 2 ~òx 1 H 3 IìXi 



(4') I -f- °(w — _j_ « — _ o 



H, 7)x 3 H 2 ^ìc 3 



L'ultima di queste equazioni ci dice che la congruenza [3], oltre ad 

 esser normale, è anche isotropa. Dalle prime due poi si deduce 



V . H 2 . 

 log = , 



"c)^?l ~^^2 Hi 



la quale, unita all'ultima delle (4'), sta ad esprimere che le linee delle 

 congruenze [1] e [2] formano un reticolato isotermo. 



Scegliendo dunque opportunamente i parametri delle linee [1] e [2], 

 senza cambiare le linee stesse, si può porre il ds 2 sotto la forma 



ds 2 = e 2h (dx\ -f da\) + W* dx\ . 



