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Possiamo quindi ripigliare in esame le (2) e (3), ponendovi H 1 = H l = e 2ft 

 e H 3 — W. 



Relativaaiente alle (4 r ), l'ultima è identicamente soddisfatta e le altre 

 due dànno 



(5) we* h W =t](x 3 ) , 



denotando con rj una funzione della sola x 3 , essenzialmente diversa da zero, 

 perchè ciò implicherebbe w = . 



Divideremo ora i ds 2 , che soddisfanno alle nostre condizioni, in due 

 alassi : 



A) quelli per cui è -^- = , 



B) quelli per cui è — ±0, 



3. E cominciamo dall'esaminare il caso A). 



Le prime due delle (2) sono identicamente soddisfatte. La terza e le (3) 

 dànno invece 



VW Ih 7»W ~òh 7>W 



9 



' 7> 2 W ~òh ~òW 7>A 7»W 



— _i_ -l_K = 



7># 2 «tei «tei 



Le condizioni di integrabilità di questo sistema sono identicamente sod- 

 disfatte. 



I ds- della classe A) sono dunque caratterizzati dal sistema (6). 



L'ultima delle (6) ci dice che h è funzione armonica di x x , x t ed 



esprime che le superfìcie x 3 = cost. sono a curvatura gaussiana nulla e che 



~òh 



anzi sono piani dello spazio curvo S 3 , per essere = 0. 



Dimostreremo che vi sono infiniti ds 2 appartenenti alla classe A), il 

 grado di arbitrarietà essendo quello di una funzione armonica di due varia- 

 bili. Ad ogni funzione armonica, o, ciò che è lo stesso, ad ogni funzione 

 della variabile complessa z = x x -\- ìxi, resta così associata una soluzione 

 del sistema (6). 



