Sommando a membro a membro la seconda e la terza delle (6), si 

 deduce 



cioè la funzioue W delle tre variabili xi , x 2 , x 3 è armonica rispetto a Xi,x t . 

 Ritenuto allora che W ed h sono funzioni armoniche, è noto che, posto 



(8) 



— — i — = w , 

 ~òh . l>h , 



w q [) risultano funzioni della variabil ecomplessa s = x^ -j- ix% , la w di- 

 pendendo eventualmente anche da x 3 . 



La integrazione del sistema (6) si riconduce allora alla integrazione 

 dell'unica equazione 



w'(z ; Xì) = rj -\-w(z; x 3 ) , 



l'apice denotando derivazione rispetto all'argomento z. 



Da questa equazione si deduce che w deve essere della forma 



w -.= Tq J a{g) + X 3 §{S) \ , 

 a q ^ dovendo soddisfare alle equazioni 



Scelta ad arbitrio una delle tre funzioni «,/?,(), le altre due restano 

 ovviamente determinate a meno di una costante, per mezzo di quadrature 

 evidenti. Converrà scegliere ad arbitrio « : la prima delle (9) fornisce così 

 la conoscenza di f) . Posto allora 



risulta 



Ti (z) =J§(z) dz = u -\- iv , 



§ = c l e ; \){z) — ~ — — i - — 



uX\ 7)3? 2 



e, in virtù della seconda delle (8), 



h — u -f- c% , 



Ci e Ci denotando delle costanti. 



Restano così caratterizzate tutto le soluzioni della classe A) . 



Rendiconti. 1919, Voi. XXVIII, 2° Sem. 44 



