— 338 — 



4. Veniamo ora al caso B), in cui deve ritenersi —=4= O- Dalle prime 



due delle (2) si deduce 



(io) 



con £ funzione della sola a; 3 , essenzialmente diversa da zero. 

 Con riferimento alla metrica (1), ricordiamo che 



1 DH, , 1 DH 2 

 H 3 Hj ' H 3 H 2 ìx 3 



sono gli inversi dei raggi principali di curvatura delle superfìcie ;r 3 =cost. 

 lungo le linee di curvatura [1] e [2] rispettivamente. Dalle (10) scende 

 quindi che, nel nostro caso, le superfìcie a; 3 = cost. sono sfere dello spazio 

 curvo S 3 , con curvatura eguale a £ 2 . 



La (10) può servire alla determinazione di W quando sia noto h. 



Per determinare h servono le (2) e (3), dalle quali si sia eliminato W 

 e co mediante le (10) e (5). Delle dette sei equazioni, due sono identica- 

 mente soddisfatte, una apparisce come conseguenza delle altre e le rima- 

 nenti sono: 



D 2 A ~òh ~òh 



nelle quali equazioni 6 = J"£>j> dx 3 ; <P e *P sono due funzioni, a priori ar- 

 bitrarie, dei soli argomenti x x e a; 2 . Formando le condizioni di integrabi- 

 lità, si trova 



7>d> ~ò>p 7)cp 



cioè le due funzioni <Z> e *P devono essere armoniche associate. Soddisfatta 

 questa condizione, per teoremi generali ben noti, il sistema (11) ammette 

 una sola soluzione, dipendente da tre Gestanti arbitrarie (in generale fun- 

 zioni di x 3 ). 



Il sistema (11) caratterizza tutti i ds 2 della classe B). Abbiamo quindi 

 anche qui una infinità di ds* soddisfacenti alle condizioni poste, il grado di 

 arbitrarietà essendo quello di una funzione armonica. 



Spero di esaurire la discussione del sistema (11) nella redaeione della 

 Memoria in extemo del presente lavoro. 



